$\triangle ABC$ において、$b=8$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$ のとき、辺 $BC$ の長さ $a$ を正弦定理を用いて求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$b=8$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$ のとき、辺 $BC$ の長さ $a$ を正弦定理を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ で表されます。

この問題では、$a$ を求めるので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を使います。

与えられた値を代入すると、$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}$ となります。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ となります。

これを整理すると、$a = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ となり、$a = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ となります。

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$を掛けると、$a = \frac{8\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 4\sqrt{6}$