平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの延長線上に点Eがあり、線分AEと線分CDの交点をFとする。このとき、$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$であることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの延長線上に点Eがあり、線分AEと線分CDの交点をFとする。このとき、$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\triangle DEF$ と $\triangle BCF$ において

平行四辺形の対辺は平行なので、

$AD // BC$

よって、

$DE // BC$

したがって、平行線の錯角は等しいので、

$\angle EDF = \angle CBF$ ...(1)

また、平行四辺形の対辺は平行なので、

$AB // CD$

よって、

$BF // DF$

したがって、平行線の錯角は等しいので、

$\angle DFE = \angle BFE$

$\angle DFE = \angle BFA$ ...(2) (対頂角)

さらに、$AD // BE$より錯角は等しいから、

$\angle DFA = \angle BAF$ ...(3)

(1)より$\angle EDF = \angle CBF$

したがって

$\angle DFE = \angle BFA$

ここで、$\triangle DEF$と$\triangle BCF$において

$\angle DFE= \angle BFC$ (対頂角)　...(4)

また$AD // BC$より、

$\angle DEF = \angle EBC$ ...(5)

平行四辺形ABCDにおいて、$AD = BC$である。

$\triangle DEF$と$\triangle ABF$において

$\angle DFE = \angle BFC$ (対頂角)

$\angle EDF = \angle CBF$

$\angle DEF = \angle BCE$

$\triangle DEF$と$\triangle BCF$について、

$\angle EDF = \angle FBC$ ...(6) (錯角)

$\angle DFE = \angle CFB$ ...(7) (対頂角)

したがって$\triangle DEF$と$\triangle BCF$において、二角がそれぞれ等しいので、残りの角も等しい。

よって、$\angle DEF = \angle BCF$

また、平行四辺形の対辺の長さは等しいので、$AD=BC$

$AD//BC$ なので $ED//BC$となる。

したがって、$\triangle DEF$と$\triangle BCF$は相似である。

平行四辺形の対辺は等しいので$AD = BC$

平行線の錯覚は等しいので$\angle ADF = \angle CBF$

また対頂角は等しいので$\angle AFD = \angle CFB$

$\triangle ADF$と$\triangle ECF$において、

$\angle DAF = \angle CEF$

また$\angle DFA = \angle EFC$

$\triangle ADF$ と $\triangle ECF$において、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle ADF$∽$\triangle ECF$

ここで、 $\triangle DEF$ と $\triangle BCF$ について考える。

$\angle EDF = \angle CBF$ (錯角)

$\angle DFE = \angle CFB$ (対頂角)

したがって、2角が等しいので、$\triangle DEF \sim \triangle BCF$

$\angle DEF = \angle BCF$

$DF = CF$のとき$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$となる。

3. 最終的な答え

（証明）

$\triangle DEF$と$\triangle BCF$において、

平行四辺形の対辺は平行なので、$AD//BC$。よって$DE//BC$。

したがって錯角は等しいので、$\angle EDF = \angle CBF$ …①

また、対頂角は等しいので、$\angle DFE = \angle BFA$ …②

平行四辺形の対辺は平行なので、$AB//DC$。よって$BF//DF$。

したがって錯角は等しいので、$\angle CFD = \angle BFA$ …③

①、②、③より、$\triangle DEF \sim \triangle BCF$

仮定より$AD = BC$

したがって、$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$