連立方程式 $\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+ay=5 \end{cases}$ の解 $x, y$ を入れ替えた $y, x$ が、連立方程式 $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ bx+3y=8 \end{cases}$ の解となる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

x+2y=3 \\

2x+ay=5

\end{cases}$

の解 $x, y$ を入れ替えた $y, x$ が、連立方程式

$\begin{cases}

3x+2y=7 \\

bx+3y=8

\end{cases}$

の解となる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式

$\begin{cases}

3x+2y=7 \\

bx+3y=8

\end{cases}$

の解を求める。ただし、$x, y$ は元の連立方程式の解を入れ替えたものなので、$x$ と $y$ の役割を入れ替えて、

$\begin{cases}

3y+2x=7 \\

by+3x=8

\end{cases}$

となる。

ここで、$x+2y=3$ より $x = 3 - 2y$ を $2x+ay=5$ に代入すると、

$2(3-2y)+ay=5$

$6-4y+ay=5$

$(a-4)y = -1$

$y = \frac{-1}{a-4} = \frac{1}{4-a}$

よって、

$x = 3-2y = 3 - \frac{2}{4-a} = \frac{3(4-a)-2}{4-a} = \frac{12-3a-2}{4-a} = \frac{10-3a}{4-a}$

これを入れ替えた $x$ と $y$ を代入すると、

$y = \frac{10-3a}{4-a}$

$x = \frac{1}{4-a}$

$\begin{cases}

3y+2x=7 \\

by+3x=8

\end{cases}$

に代入すると、

$\begin{cases}

3(\frac{10-3a}{4-a})+2(\frac{1}{4-a})=7 \\

b(\frac{10-3a}{4-a})+3(\frac{1}{4-a})=8

\end{cases}$

$\begin{cases}

\frac{30-9a+2}{4-a}=7 \\

\frac{b(10-3a)+3}{4-a}=8

\end{cases}$

$\begin{cases}

32-9a=7(4-a) \\

b(10-3a)+3=8(4-a)

\end{cases}$

$\begin{cases}

32-9a=28-7a \\

b(10-3a)+3=32-8a

\end{cases}$

$\begin{cases}

4=2a \\

b(10-3a)=29-8a

\end{cases}$

$\begin{cases}

a=2 \\

b(10-6)=29-16

\end{cases}$

$\begin{cases}

a=2 \\

4b=13

\end{cases}$

$\begin{cases}

a=2 \\

b=\frac{13}{4}

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$a=2, b=\frac{13}{4}$