100人を対象に商品PとQの知名度アンケートを行った。Qを知っている人はPを知っている人の3倍、両方知っている人は10人、どちらも知らない人は18人だった。Qだけを知っている人の数を求める。

1. 問題の内容

100人を対象に商品PとQの知名度アンケートを行った。Qを知っている人はPを知っている人の3倍、両方知っている人は10人、どちらも知らない人は18人だった。Qだけを知っている人の数を求める。

2. 解き方の手順

* Pを知っている人の数を $x$ とする。

* Qを知っている人の数は $3x$ である。

* 両方知っている人の数は10人である。

* どちらも知らない人の数は18人である。

* ベン図を考えると、$x$ はPだけを知っている人と両方知っている人の合計、$3x$ はQだけを知っている人と両方知っている人の合計である。

* Pだけを知っている人は $x - 10$ 人である。

* Qだけを知っている人は $3x - 10$ 人である。

* Pだけを知っている人、Qだけを知っている人、両方知っている人、どちらも知らない人の合計は100人なので、以下の式が成り立つ。

$(x - 10) + (3x - 10) + 10 + 18 = 100$

* この式を解く。

$4x - 20 + 10 + 18 = 100$

$4x - 2 = 100$

$4x = 102$

$x = \frac{102}{4} = \frac{51}{2} = 25.5$

ここで $x$ が整数でないといけないので、問題文か式に誤りがある可能性があります。ただし、ここでは問題文の通りに計算を進めて、最も近い整数解を求めていきます。

$x$ に最も近い整数は25か26なのでそれぞれで計算してみます。

$x = 25$ のとき、Qだけを知っている人の数は $3x - 10 = 3(25) - 10 = 75 - 10 = 65$

このとき Pだけ知っている人は $25-10=15$ で $15 + 65 + 10 + 18 = 108$ となり 100人を超えてしまいます。

$x = 26$ のとき、Qだけを知っている人の数は $3x - 10 = 3(26) - 10 = 78 - 10 = 68$

このとき Pだけ知っている人は $26-10=16$ で $16 + 68 + 10 + 18 = 112$ となり 100人を超えてしまいます。

しかし問題文に誤りがないと仮定すると、Qを知っている人数 = $3x$ であるため、$3x$は整数である必要があります。また、Pを知っている人数 + Qを知っている人数 = $x + 3x = 4x$ であるため、$4x$ は整数である必要があります。アンケートに答えた人数は100人であるため、$x$ は $4x < 100$ である必要があります。

この問題文にはいくつか矛盾する部分があります。しかし、文章をできるだけ尊重して解くとすれば、Qだけを知っている人数は、$3x - 10$ と表されることを利用します。

$(x-10) + (3x - 10) + 10 + 18 = 100$

$4x - 2 = 100$

$4x = 102$

$3x - 10 = (306/4) - 10 = 76.5 - 10 = 66.5$

この数に最も近い整数は66か67なのでどちらかになります。

3. 最終的な答え

問題文に矛盾があるため厳密な解答は出せませんが、最も近い整数を答えとして採用するならば、Qだけを知っている人は 66人 または 67人となります。