大小中3つのサイコロを同時に投げ、出た目をそれぞれ $a, b, c$ とする。これらを並べてできる3桁の整数 $n = 100a + 10b + c$ について、以下の確率を求めよ。 (1) $n$ が偶数である確率 (2) $n$ を3で割った余りが2である確率 (3) $n \ge 325$ である確率

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを同時に投げ、出た目をそれぞれ $a, b, c$ とする。これらを並べてできる3桁の整数 $n = 100a + 10b + c$ について、以下の確率を求めよ。

(1) $n$ が偶数である確率

(2) $n$ を3で割った余りが2である確率

(3) $n \ge 325$ である確率

2. 解き方の手順

(1) $n$ が偶数である条件は、一の位である $c$ が偶数であること。

$c$ は1から6までの値を取りうるので、偶数となる確率は $3/6 = 1/2$ 。

$a, b$ の値に関わらず $c$ が偶数であれば $n$ は偶数となるので、求める確率は $1/2$。

(2) $n = 100a + 10b + c$ を3で割った余りを考える。

$100 \equiv 1 \pmod{3}$, $10 \equiv 1 \pmod{3}$ より、

$n \equiv a + b + c \pmod{3}$ となる。

したがって、$n$ を3で割った余りが2であることは、$a+b+c$ を3で割った余りが2であることと同値。

$a, b, c$ はそれぞれ1から6までの値をとる。

$a, b$ を固定したとき、$a+b+c \equiv 2 \pmod{3}$ となる $c$ の個数を考える。

$c \equiv 2 - a - b \pmod{3}$ を満たす $c$ の個数は、$1 \le c \le 6$ の範囲で2個である。

したがって、$a, b$ の値に関わらず、$a+b+c \equiv 2 \pmod{3}$ となる $c$ の確率は $2/6 = 1/3$ である。

$a, b$ の選び方は $6 \times 6 = 36$ 通り、$c$ の選び方は6通りなので、全体の場合の数は $6^3 = 216$ 通り。

$a+b+c$ を3で割った余りが2となるのは、$216 \times 1/3 = 72$ 通り。

求める確率は $72/216 = 1/3$。

(3) $n \ge 325$ となる確率を求める。

$n = 100a + 10b + c \ge 325$。

$a=1, 2$ のときは $n \ge 325$ となることはない。

$a=3$ のとき、$10b+c \ge 25$ であればよい。

$b=1, 2$ のときは条件を満たさない。

$b=3, 4, 5, 6$ のときは、$c$ の値に関わらず条件を満たす。

$b=3$ のとき、$c \ge -5$ となり、$c$ は全ての値を取りうる。

$b=2$ のとき、$c=5,6$で条件を満たす。

$a=4, 5, 6$ のときは、$b, c$ の値に関わらず $n \ge 325$ となる。

$a=3$ のとき、$b=3,4,5,6$ で $c$ は全ての場合をとりうるので、$4 \times 6 = 24$ 通り。

$a=3$ のとき、$b=2$ で $c=5,6$ なので、$2$ 通り。

$a=4, 5, 6$ のとき、$b, c$ は全ての値を取りうるので、$3 \times 6 \times 6 = 108$ 通り。

合計 $24+2+108=134$ 通り。

求める確率は $134/216 = 67/108$。

3. 最終的な答え

(1) $1/2$

(2) $1/3$

(3) $67/108$