(1) 5組のデータ $(x, y) = (12, 11), (14, 12), (11, 14), (8, 10), (10, 8)$ が与えられています。これらのデータから、$x$ と $y$ の相関係数を求める必要があります。 (2) 20個の値からなるデータがあります。そのうちの15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13です。この20個のデータ全体の平均値と分散を求める必要があります。

1. 問題の内容

(1) 5組のデータ $(x, y) = (12, 11), (14, 12), (11, 14), (8, 10), (10, 8)$ が与えられています。これらのデータから、$x$ と $y$ の相関係数を求める必要があります。

(2) 20個の値からなるデータがあります。そのうちの15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13です。この20個のデータ全体の平均値と分散を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数の計算

まず、$x$ と $y$ の平均値 $\bar{x}$ と $\bar{y}$ を求めます。

$\bar{x} = \frac{12 + 14 + 11 + 8 + 10}{5} = \frac{55}{5} = 11$

$\bar{y} = \frac{11 + 12 + 14 + 10 + 8}{5} = \frac{55}{5} = 11$

次に、$x$ と $y$ の標準偏差 $s_x$ と $s_y$ を求めます。

$x$ の分散 $s_x^2 = \frac{(12-11)^2 + (14-11)^2 + (11-11)^2 + (8-11)^2 + (10-11)^2}{5} = \frac{1 + 9 + 0 + 9 + 1}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$y$ の分散 $s_y^2 = \frac{(11-11)^2 + (12-11)^2 + (14-11)^2 + (10-11)^2 + (8-11)^2}{5} = \frac{0 + 1 + 9 + 1 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

したがって、$s_x = \sqrt{4} = 2$、$s_y = \sqrt{4} = 2$。

共分散 $s_{xy}$ を求めます。

$s_{xy} = \frac{(12-11)(11-11) + (14-11)(12-11) + (11-11)(14-11) + (8-11)(10-11) + (10-11)(8-11)}{5} = \frac{0 + 3 + 0 + 3 + 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$

相関係数 $r$ は、$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{1.8}{2 \times 2} = \frac{1.8}{4} = 0.45$

(2) 全体の平均値と分散の計算

15個のデータの合計は $15 \times 10 = 150$

5個のデータの合計は $5 \times 14 = 70$

20個のデータの合計は $150 + 70 = 220$

したがって、全体の平均値 $\bar{x}_{total}$ は $\frac{220}{20} = 11$

15個のデータの分散は5なので、

$\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15} (x_i - 10)^2 = 5$

$\sum_{i=1}^{15} (x_i - 10)^2 = 15 \times 5 = 75$

5個のデータの分散は13なので、

$\frac{1}{5}\sum_{i=16}^{20} (x_i - 14)^2 = 13$

$\sum_{i=16}^{20} (x_i - 14)^2 = 5 \times 13 = 65$

全体の分散 $s^2_{total}$ を求めます。

$s^2_{total} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} (x_i - 11)^2$

$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 11)^2 = \sum_{i=1}^{15} (x_i - 11)^2 + \sum_{i=16}^{20} (x_i - 11)^2$

$= \sum_{i=1}^{15} (x_i - 10 - 1)^2 + \sum_{i=16}^{20} (x_i - 14 + 3)^2$

$= \sum_{i=1}^{15} ((x_i - 10)^2 - 2(x_i - 10) + 1) + \sum_{i=16}^{20} ((x_i - 14)^2 + 6(x_i - 14) + 9)$

$= \sum_{i=1}^{15} (x_i - 10)^2 - 2\sum_{i=1}^{15} (x_i - 10) + 15 + \sum_{i=16}^{20} (x_i - 14)^2 + 6\sum_{i=16}^{20} (x_i - 14) + 45$

$\sum_{i=1}^{15} (x_i - 10) = \sum_{i=1}^{15} x_i - 15 \times 10 = 150 - 150 = 0$

$\sum_{i=16}^{20} (x_i - 14) = \sum_{i=16}^{20} x_i - 5 \times 14 = 70 - 70 = 0$

$= 75 - 0 + 15 + 65 + 0 + 45 = 200$

$s^2_{total} = \frac{200}{20} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数: 0.45

(2) 平均値: 11, 分散: 10