大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 5人を選ぶすべての選び方を求めます。 (2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方を求めます。

1. 問題の内容

大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。

(1) 5人を選ぶすべての選び方を求めます。

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方を求めます。

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶ組み合わせの数を求めます。組み合わせの数は、$_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$で計算できます。

$n=15$, $r=5$ なので、

$_{15}C_{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方

大人5人の中から2人を選ぶ組み合わせの数を求めます。

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

子供10人の中から3人を選ぶ組み合わせの数を求めます。

$_{10}C_{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

大人2人と子供3人を選ぶ組み合わせの数は、それぞれの組み合わせの数の積で求められます。

$10 \times 120 = 1200$

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方: 3003通り

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方: 1200通り