20個の値からなるデータがあり、そのうち15個の値の平均値は10で分散は5、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

20個の値からなるデータがあり、そのうち15個の値の平均値は10で分散は5、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体の平均値を求める。

全体の合計値は、15個のデータの合計値と5個のデータの合計値の和である。

15個のデータの合計値は、平均値×個数 = $10 \times 15 = 150$

5個のデータの合計値は、平均値×個数 = $14 \times 5 = 70$

全体の合計値は、$150 + 70 = 220$

全体の平均値は、合計値÷個数 = $220 \div 20 = 11$

次に、全体の分散を求める。

分散の公式は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ であり、$E(X)$ は平均、$E(X^2)$は二乗の平均を表す。

この公式を変形して、$E(X^2) = V(X) + (E(X))^2$を得る。

15個のデータの$X^2$の平均は、$5 + 10^2 = 105$

15個のデータの$X^2$の合計は、$105 \times 15 = 1575$

5個のデータの$X^2$の平均は、$13 + 14^2 = 209$

5個のデータの$X^2$の合計は、$209 \times 5 = 1045$

20個全体の$X^2$の合計は、$1575 + 1045 = 2620$

20個全体の$X^2$の平均は、$2620 \div 20 = 131$

20個全体の分散は、$131 - 11^2 = 131 - 121 = 10$

3. 最終的な答え

平均値: 11

分散: 10