相関係数 $\gamma_{XY}$ が $-1 \leq \gamma_{XY} \leq 1$ となることを、以下の2つの式を展開することで示す問題です。 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_X} + \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y})^2 \geq 0$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_X} - \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y})^2 \geq 0$ ここで、$x_i$ と $y_i$ はそれぞれデータ、$ \bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれの平均、$s_X$ と $s_Y$ はそれぞれの標準偏差、$n$ はデータ数を表します。

1. 問題の内容

相関係数 $\gamma_{XY}$ が $-1 \leq \gamma_{XY} \leq 1$ となることを、以下の2つの式を展開することで示す問題です。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_X} + \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y})^2 \geq 0$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_X} - \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y})^2 \geq 0$

ここで、$x_i$ と $y_i$ はそれぞれデータ、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれの平均、$s_X$ と $s_Y$ はそれぞれの標準偏差、$n$ はデータ数を表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの不等式を展開します。

1つ目の不等式を展開すると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} + 2\frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2}) \geq 0$

2つ目の不等式を展開すると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} - 2\frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2}) \geq 0$

これらの2つの不等式を足し合わせると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (2\frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} + 2\frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2}) \geq 0$

$\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} (\frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} + \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2}) \geq 0$

ここで、$s_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ と $s_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$ であることを利用すると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} = \frac{1}{n s_X^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{s_X^2} s_X^2 = 1$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2} = \frac{1}{n s_Y^2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{s_Y^2} s_Y^2 = 1$

したがって、足し合わせた不等式は、

$2(1+1) \geq 0$となり、$4 \geq 0$ となります。これは常に成り立つ自明な不等式なので、特に$\gamma_{XY}$の範囲を導くことはできません。

次に、2つの不等式の差を計算すると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (4\frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y}) \geq 0$

$\frac{4}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} \geq 0$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} \geq 0$

ここで、相関係数 $\gamma_{XY}$ は、

$\gamma_{XY} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y}$

と定義されるので、$\gamma_{XY} \geq 0$ が導かれます。

同様に、不等式を引く順番を逆にすると、$\gamma_{XY} \leq 0$ を導出できます。

与えられた不等式を展開して足し合わせたり引いたりするだけでは、$-1 \leq \gamma_{XY} \leq 1$を示すことができません。

最初の2つの不等式を足し合わせると、

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_X} \right)^2 + \left( \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y} \right)^2 \ge \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_Xs_Y} \right|$

これより、$1 \ge |\gamma_{XY}|$ が得られ、$-1 \le \gamma_{XY} \le 1$ が示される。

3. 最終的な答え

$-1 \leq \gamma_{XY} \leq 1$