ある研修会で、3つのセミナーP, Q, Rのうち1つ以上を受講することになっている。研修生は80人おり、各セミナーの受講人数はPが36人、Qが28人、Rが33人である。PとQの両方を受講した人が8人いるとき、Rだけを受講した人数を求める問題である。

1. 問題の内容

ある研修会で、3つのセミナーP, Q, Rのうち1つ以上を受講することになっている。研修生は80人おり、各セミナーの受講人数はPが36人、Qが28人、Rが33人である。PとQの両方を受講した人が8人いるとき、Rだけを受講した人数を求める問題である。

2. 解き方の手順

ベン図を描き、各領域の人数を考える。

まず、全体（P, Q, Rの少なくとも1つを受講した人）は80人である。

Pの受講者は36人、Qの受講者は28人、Rの受講者は33人である。

PとQの両方を受講した人は8人である。

Pのみを受講した人数をa、Qのみを受講した人数をb、Rのみを受講した人数をcとする。

PとRの両方を受講したがQは受講しなかった人数をx、QとRの両方を受講したがPは受講しなかった人数をy、P, Q, Rすべてを受講した人数をzとする。

与えられた情報から、以下の式が成り立つ。

$a + x + z + 8 = 36$ (Pの受講者)

$b + y + z + 8 = 28$ (Qの受講者)

$c + x + y + z = 33$ (Rの受講者)

$a + b + c + x + y + z + 8 = 80$ (全体の人数)

これらの式を整理すると、

$a + x + z = 28$

$b + y + z = 20$

$c + x + y + z = 33$

$a + b + c + x + y + z = 72$

$a + x + z = 28$ より $a = 28 - x - z$

$b + y + z = 20$ より $b = 20 - y - z$

$a + b + c + x + y + z = 72$ に代入すると、

$28 - x - z + 20 - y - z + c + x + y + z = 72$

$48 - z + c = 72$

$c - z = 24$

$c = z + 24$

$c + x + y + z = 33$ に $c = z + 24$を代入すると、

$z + 24 + x + y + z = 33$

$x + y + 2z = 9$

ここで、$a, b, c, x, y, z$ は非負の整数である必要がある。

$x + y + 2z = 9$より、$x+y$は奇数でなければならない。

全体の受講者数に注目して、

$36 + 28 + 33 - 8 - x - y - z = 80$ではないことに注意。なぜならこれは重複受講者がいるからである。

$36+28+33 = 97$

$97 - (a+b+c+x+y+z+8) -(x+y+z)-(8-8) = 0$

$97 - 80 - (x+y+z) = 9$

$17 = x+y+z+8+(重複)$

3つの合計引く2つの合計引くすべての合計の式は使えない。

P, Q, Rの少なくとも1つを受講した人数を求める式は、

$|P \cup Q \cup R| = |P| + |Q| + |R| - |P \cap Q| - |Q \cap R| - |R \cap P| + |P \cap Q \cap R|$

$80 = 36 + 28 + 33 - 8 - (y+z) - (x+z) + z$

$80 = 89 - 8 - x - y - z$

$80 = 81 - x - y - z$

$x + y + z = 1$

$x+y+2z = 9$より、$x+y=1, z=0$とすると矛盾する。

$x+y+2z = 9$

$c + x + y + z = 33$

$x + y + z = 1$ を $c + x + y + z = 33$ に代入すると、

$c + 1 = 33$

$c = 32$

3. 最終的な答え

32