問題は2つあります。 (1) $40x + 17y = 1$ の整数解をすべて求める。さらに、与えられた形式に従って、xとyをkで表す。 (2) $xy - 6x + 3y - 28 = 0$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。ただし、$x=7, y=8$ と $x=9, y=10$ は既知であり、$7 < x < 9$ とする。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $40x + 17y = 1$ の整数解をすべて求める。さらに、与えられた形式に従って、xとyをkで表す。

(2) $xy - 6x + 3y - 28 = 0$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。ただし、$x=7, y=8$ と $x=9, y=10$ は既知であり、$7 < x < 9$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $40x + 17y = 1$ の整数解を求める。

まず、特殊解を1つ見つける。

$40x + 17y = 1$

$40 = 17 * 2 + 6$

$17 = 6 * 2 + 5$

$6 = 5 * 1 + 1$

$1 = 6 - 5 * 1 = 6 - (17 - 6 * 2) = 6 * 3 - 17 = (40 - 17 * 2) * 3 - 17 = 40 * 3 - 17 * 6 - 17 = 40 * 3 - 17 * 7$

したがって、$40(3) + 17(-7) = 1$

特殊解は $(x_0, y_0) = (3, -7)$

一般解は

$40x + 17y = 1$

$40(3) + 17(-7) = 1$

辺々引くと

$40(x - 3) + 17(y + 7) = 0$

$40(x - 3) = -17(y + 7)$

40と17は互いに素なので、$x - 3 = 17k$, $y + 7 = -40k$ (kは整数)

$x = 17k + 3$

$y = -40k - 7$

与えられた形式と比較する：

$x = -1 + 2k + 3 = 2k + 2$

$y = 4 + 5k - 6 = 5k - 2$

$17k + 3 = 2k + 2$ より $15k = -1$ となり、これは整数解を持たない。

$-40k - 7 = 5k - 2$ より $-45k = 5$ となり、$k = -\frac{1}{9}$ となり、これも整数解を持たない。

これは問題文が誤っている可能性がある。

ここで $x = 17k + 3$, $y = -40k - 7$ を整数解とする。

(2) $xy - 6x + 3y - 28 = 0$ の整数解を求める。

$xy - 6x + 3y - 18 - 10 = 0$

$x(y - 6) + 3(y - 6) = 10$

$(x + 3)(y - 6) = 10$

$x, y$ は正の整数なので、$x + 3 > 3$

考えられる組み合わせは以下の通り。

$x + 3 = 5$ かつ $y - 6 = 2$ -> $x = 2$, $y = 8$

$x + 3 = 10$ かつ $y - 6 = 1$ -> $x = 7$, $y = 7$

問題文より，$x=7, y=8$ と $x=9, y=10$が既知であること，及び$7 < x < 9$という条件から，上記の解は条件を満たさない．よって正の整数の組はない．

しかし，問題文は正の整数の組が存在することを前提としているように見える．

$xy - 6x + 3y - 28 = 0$

$7 < x < 9$ より，$x = 8$ であることがわかる。

$8y - 6(8) + 3y - 28 = 0$

$11y = 48 + 28$

$11y = 76$

$y = \frac{76}{11}$

これは整数解ではない。

問題文に誤りがある可能性がある。ここでは、$x=7, y=8$ と $x=9, y=10$が与えられているので、他の正の整数解は存在しないとする。

3. 最終的な答え

(1) $x = 17k + 3$

$y = -40k - 7$

与えられた形式には当てはまらない。

(2) 与えられた条件下では、正の整数の組は存在しない。しかし問題文の意図を汲み取り、$x=7$ のとき，$7y-6(7)+3y-28 = 0$より，$10y=70$, $y=7$.

$x=9$ のとき，$9y-6(9)+3y-28=0$より，$12y=82$, $y=41/6$, これは整数でない。

$x=7$のとき、$y=7$

したがって、

x = 7, y =

7. x = 8, y = なし

x = 9, y = なし

x = 10, y = なし。