次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

次に、$5S$ を計算します。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^4 + \dots + n \cdot 5^n$

$S - 5S$ を計算します。

$-4S = 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 5 + (3-2) \cdot 5^2 + (4-3) \cdot 5^3 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

等比数列の和の公式を使って、$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1}$ を計算します。

$\frac{1(5^n - 1)}{5-1} = \frac{5^n - 1}{4}$

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$S = -\frac{1}{4} \left( \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n \right)$

$S = -\frac{1}{16} (5^n - 1 - 4n \cdot 5^n)$

$S = \frac{4n \cdot 5^n - 5^n + 1}{16}$

$S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

次に、$\frac{1}{3}S$ を計算します。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots + \frac{n}{3^n}$

$S - \frac{1}{3}S$ を計算します。

$\frac{2}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \left( \frac{4}{3^3} - \frac{3}{3^3} \right) + \dots + \left( \frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^{n-1}} \right) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

等比数列の和の公式を使って、$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$ を計算します。

$\frac{1 \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right)$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

次に、$xS$ を計算します。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^n$

$S - xS$ を計算します。

$(1-x)S = 1 + (4-1)x + (7-4)x^2 + (10-7)x^3 + \dots + (3n-2 - (3(n-1)-2))x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

等比数列の和の公式を使って、$x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}$ を計算します。

$\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

$(1-x)S = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$S = \frac{1}{1-x} \left( 1 + \frac{3x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n \right)$

$S = \frac{1}{1-x} \left( \frac{1-x + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x} \right)$

$S = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1+2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$