右の図のような格子状の道がある町で、地点Aから地点Bまで最短経路で行く場合の数を考える。 (1) すべての経路の総数を求める。 (2) 地点Pを通る経路の数を求める。 (3) 地点Pを通らない経路の数を求める。

1. 問題の内容

右の図のような格子状の道がある町で、地点Aから地点Bまで最短経路で行く場合の数を考える。

(1) すべての経路の総数を求める。

(2) 地点Pを通る経路の数を求める。

(3) 地点Pを通らない経路の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで最短経路で行くには、右に4回、上に4回移動する必要がある。

したがって、合計8回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせを考えれば良い。

これは、8個の場所から4個の場所を選ぶ組み合わせの数に等しい。

よって、

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) AからPまでの最短経路の数は、右に2回、上に1回移動する組み合わせなので、

$\frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

PからBまでの最短経路の数は、右に2回、上に3回移動する組み合わせなので、

$\frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、AからPを通ってBまで行く経路の数は、

$3 \times 10 = 30$

(3) AからBまでのすべての経路の数から、地点Pを通る経路の数を引けば、地点Pを通らない経路の数が得られる。

よって、

$70 - 30 = 40$

3. 最終的な答え

(1) すべての道順：70通り

(2) 地点Pを通る道順：30通り

(3) 地点Pを通らない道順：40通り