赤玉8個と白玉4個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 3個とも同じ色である確率 (2) 赤玉も白玉も含まれる確率

1. 問題の内容

赤玉8個と白玉4個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 3個とも同じ色である確率

(2) 赤玉も白玉も含まれる確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも同じ色である確率

3個とも赤玉である確率と3個とも白玉である確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせます。

全事象は、12個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、 ${}_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$通りです。

3個とも赤玉である確率は、赤玉8個から3個を選ぶ組み合わせを全事象で割ったものです。

${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

確率は、$\frac{56}{220}$です。

3個とも白玉である確率は、白玉4個から3個を選ぶ組み合わせを全事象で割ったものです。

${}_4C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。

確率は、$\frac{4}{220}$です。

したがって、3個とも同じ色である確率は、

$\frac{56}{220} + \frac{4}{220} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$です。

(2) 赤玉も白玉も含まれる確率

これは、「3個とも同じ色である」という事象の余事象です。

したがって、1から(1)の答えを引けば良いです。

$1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$です。

3. 最終的な答え

(1) 3個とも同じ色である確率： $\frac{3}{11}$

(2) 赤玉も白玉も含まれる確率： $\frac{8}{11}$