連続する3つの自然数があり、最も小さい自然数の2乗と真ん中の自然数の2乗の和が、最も大きい自然数の2乗に等しい。真ん中の自然数を $n$ として、(1)方程式を作りなさい。(2)3つの自然数をそれぞれ求めなさい。

1. 問題の内容

連続する3つの自然数があり、最も小さい自然数の2乗と真ん中の自然数の2乗の和が、最も大きい自然数の2乗に等しい。真ん中の自然数を $n$ として、(1)方程式を作りなさい。(2)3つの自然数をそれぞれ求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 真ん中の自然数を $n$ とすると、最も小さい自然数は $n-1$ 、最も大きい自然数は $n+1$ となる。

問題文より、$(n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2$ という方程式が成り立つ。

$(n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2$

$n^2 - 2n + 1 + n^2 = n^2 + 2n + 1$

$2n^2 - 2n + 1 = n^2 + 2n + 1$

$n^2 - 4n = 0$

(2) (1)で得られた方程式 $n^2 - 4n = 0$ を解く。

$n(n-4) = 0$

$n = 0, 4$

$n$ は自然数なので、$n=4$

よって、3つの自然数は $n-1 = 4-1 = 3$, $n = 4$, $n+1 = 4+1 = 5$

したがって、3, 4, 5 が答えである。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - 4n = 0$

(2) 3, 4, 5