$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、以下の問題を解きます。 (1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。 (2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めなさい。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、以下の問題を解きます。

(1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

(2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を解きます。

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表します。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、方程式は次のようになります。

$\sqrt{2} \sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 1 = 0$

$2\sin^2 \theta + \sqrt{2} \sin \theta = 0$

$\sin \theta (2\sin \theta + \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$ です。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

(2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を解きます。

(1)と同様に、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて不等式を変形します。

$\sqrt{2} \sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 1 < 0$

$2\sin^2 \theta + \sqrt{2} \sin \theta < 0$

$\sin \theta (2\sin \theta + \sqrt{2}) < 0$

したがって、$\sin \theta$ の符号によって場合分けをします。

$\sin \theta > 0$ のとき、$2\sin \theta + \sqrt{2} < 0 \implies \sin \theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となりますが、$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は存在しません。

$\sin \theta < 0$ のとき、$2\sin \theta + \sqrt{2} > 0 \implies \sin \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin \theta < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

$\sin \theta = 0$ となるのは $\theta = 0, \pi$ です。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

したがって、$\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$