$\sqrt{6}$ が無理数であるとき、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であるとき、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) 背理法を用いるので、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2} = r$ (ただし、$r$ は有理数)とおく。

(3) 両辺を2乗すると、 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = r^2$ となり、$3 - 2\sqrt{6} + 2 = r^2$ すなわち $5 - 2\sqrt{6} = r^2$ となる。

(4) この式を変形すると、 $2\sqrt{6} = 5 - r^2$ となる。

(5) 両辺を2で割ると、 $\sqrt{6} = \frac{5 - r^2}{2}$ となる。

(6) $r$ は有理数なので、$\frac{5 - r^2}{2}$ も有理数である。

(7) これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

(8) したがって、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ は無理数である。