$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin\theta - \cos\theta$ について、以下の問いに答える。 (1) $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。 (2) $y = 0$ となる $\theta$ の値を求める。 (3) $y > 0$ となる $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin\theta - \cos\theta$ について、以下の問いに答える。

(1) $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める。

(2) $y = 0$ となる $\theta$ の値を求める。

(3) $y > 0$ となる $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{3} \sin\theta - \cos\theta$ を合成する。

$y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin\theta - \frac{1}{2} \cos\theta)$

$y = 2(\sin\theta \cos\frac{\pi}{6} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{6})$

$y = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$ である。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最大値は 1 で、$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$y = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ となる。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最小値は -1 で、$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{5\pi}{3}$ のとき、$y = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$ となる。

(2) $y = 0$ となるとき、$2\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) = 0$ より、$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) = 0$ である。

$\theta - \frac{\pi}{6} = 0, \pi$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(3) $y > 0$ となるとき、$2\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) > 0$ より、$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) > 0$ である。

$0 < \theta - \frac{\pi}{6} < \pi$

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($\theta = \frac{2\pi}{3}$)、最小値: -2 ($\theta = \frac{5\pi}{3}$)

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(3) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{7\pi}{6}$