1から10までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計10枚ある。 1回目に出た数に関係なく2回カードを引く。2回目に引いたカードの数字を得点$X$とする。 $P(X=1)$、$P(X=2)$、期待値$E(X)$、1回目にゲームを止めるべき数と2回ゲームを行うべき数を求めよ。

1. 問題の内容

1から10までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計10枚ある。

1回目に出た数に関係なく2回カードを引く。2回目に引いたカードの数字を得点$X$とする。

$P(X=1)$、$P(X=2)$、期待値$E(X)$、1回目にゲームを止めるべき数と2回ゲームを行うべき数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P(X=1)$と$P(X=2)$を求める。カードは全部で10枚なので、$P(X=1) = \frac{1}{10}$、$P(X=2) = \frac{1}{10}$。

同様に、$P(X=i) = \frac{1}{10}$ ($i = 1, 2, \dots, 10$)である。

次に、期待値$E(X)$を計算する。期待値の定義より、

$E(X) = \sum_{i=1}^{10} i \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^{10} i \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} i$

$\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

したがって、$E(X) = \frac{1}{10} \cdot 55 = 5.5$

次に、1回目のゲームを止めるべき数を考える。1回目の出目を$k$とする。

1回目でゲームを止めたときの得点は$k$である。

2回目のゲームを行ったときの得点の期待値は$E(X)=5.5$である。

$k > 5.5$のとき、1回目でゲームを止める方が良い。

$k \le 5.5$のとき、2回目のゲームを行う方が良い。

$k$は整数なので、$k \ge 6$のとき1回目でゲームを止め、$k \le 5$のとき2回ゲームを行うのが良い。

3. 最終的な答え

ア：1/10

イ：1/10

ウ：5.5

エ：6

オ：5