9人を指定された人数構成の組に分ける場合の数を計算する問題です。 (1) 4人と5人の2組に分ける場合 (2) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける場合 (3) 3人ずつの3組に分ける場合 (4) 5人、2人、2人の3組に分ける場合 それぞれの組分けの方法の数を求めます。

1. 問題の内容

9人を指定された人数構成の組に分ける場合の数を計算する問題です。

(1) 4人と5人の2組に分ける場合

(2) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける場合

(3) 3人ずつの3組に分ける場合

(4) 5人、2人、2人の3組に分ける場合

それぞれの組分けの方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4人と5人の2組に分ける場合

9人から4人を選ぶ場合の数を計算します。残りの5人は自動的に5人の組になります。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける場合

まず9人からA組の3人を選び、次に残りの6人からB組の3人を選びます。最後に残りの3人は自動的にC組になります。

${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

(3) 3人ずつの3組に分ける場合

まず9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人を選びます。ただし、組に区別がないため、3!で割る必要があります。

$\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 5人、2人、2人の3組に分ける場合

まず9人から5人を選び、次に残りの4人から2人を選びます。最後に残りの2人を選びます。2人の組に区別がないため、2!で割る必要があります。

$\frac{{}_9 C_5 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{2} = \frac{\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1}{2} = \frac{126 \times 6}{2} = \frac{756}{2} = 378$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り