1つのサイコロを3回投げて出る目の数を順に $a$, $b$, $c$ とします。 (1) $a < b < c$ となる場合は何通りあるか。 (2) $a \le b \le c$ となる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回投げて出る目の数を順に $a$, $b$, $c$ とします。

(1) $a < b < c$ となる場合は何通りあるか。

(2) $a \le b \le c$ となる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) $a < b < c$ の場合

$a, b, c$ は全て異なるので、1から6までの数字から3つを選び、小さい順に $a, b, c$ とすれば条件を満たします。

したがって、求める場合の数は、6個から3個を選ぶ組み合わせの数に等しいです。

これは $\binom{6}{3}$ で計算できます。

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) $a \le b \le c$ の場合

$a, b, c$ は同じ数字でも構いません。この場合は、重複組合せを用います。

1から6までの数字から重複を許して3つを選ぶ組合せの数を求めます。

これは ${}_6H_3$ と表されます。

${}_nH_r = \binom{n+r-1}{r}$ という公式を利用します。

${}_6H_3 = \binom{6+3-1}{3} = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

3. 最終的な答え

(1) $a < b < c$ の場合は 20 通り

(2) $a \le b \le c$ の場合は 56 通り