10人を以下の条件で組分けする方法の数を求めます。 (1) 3人と7人の2組に分ける。 (2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。 (3) 5人ずつの2組に分ける。 (4) 5人、3人、2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

10人を以下の条件で組分けする方法の数を求めます。

(1) 3人と7人の2組に分ける。

(2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。

(3) 5人ずつの2組に分ける。

(4) 5人、3人、2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 3人と7人の2組に分ける場合

10人から3人を選ぶ方法の数を考えればよいです。残りの7人は自動的に7人の組になります。

組み合わせの公式を用いて計算します。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 5人ずつA, Bの2組に分ける場合

10人からA組の5人を選ぶ方法の数を考えます。残りの5人は自動的にB組になります。

組み合わせの公式を用いて計算します。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$

(3) 5人ずつの2組に分ける場合

10人から5人を選ぶ方法の数を考え、それを2で割ります。これは、A, B の区別がないため、(2) で求めた数を2で割ることで重複を避けます。

$\frac{_{10}C_5}{2} = \frac{252}{2} = 126$

(4) 5人、3人、2人の3組に分ける場合

まず、10人から5人を選ぶ方法を考えます。次に、残りの5人から3人を選ぶ方法を考えます。最後に、残りの2人は自動的に2人の組になります。

組み合わせの公式を用いて計算します。

$_{10}C_5 \times _5C_3 = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!}{3!2!} = 252 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 252 \times 10 = 2520$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 252通り

(3) 126通り

(4) 2520通り