(1) 男子3人、女子3人が1列に並ぶとき、男子3人が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。 (2) 男子5人、女子2人が1列に並ぶとき、両端が男子である並び方は何通りあるか。 (3) 男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、男子は男子、女子は女子でまとまって並ぶ並び方は何通りあるか。 (4) 8枚の数字カード1,2,3,4,5,6,7,8から5枚を選んで並べて5桁の数を作るとき、両端が偶数である数は何通りあるか。ただし、同じカードは2度以上使わないとする。

1. 問題の内容

(1) 男子3人、女子3人が1列に並ぶとき、男子3人が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。

(2) 男子5人、女子2人が1列に並ぶとき、両端が男子である並び方は何通りあるか。

(3) 男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、男子は男子、女子は女子でまとまって並ぶ並び方は何通りあるか。

(4) 8枚の数字カード1,2,3,4,5,6,7,8から5枚を選んで並べて5桁の数を作るとき、両端が偶数である数は何通りあるか。ただし、同じカードは2度以上使わないとする。

2. 解き方の手順

(1) 男子3人を1つのグループとして考えます。このグループと女子3人の計4つのものを並べる順列は $4!$ 通りあります。さらに、男子3人グループの中での並び方は $3!$ 通りあります。したがって、並び方の総数は $4! \times 3!$ 通りです。

(2) まず、両端に男子を並べる方法を考えます。両端には5人の男子から2人を選んで並べるので、$5P2$ = $5 \times 4 = 20$ 通りあります。

残りの5つの席には、残りの男子3人と女子2人の計5人を並べるので、$5!$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $5P2 \times 5! = 20 \times 120$ 通りです。

(3) 男子4人と女子3人はそれぞれまとまって並ぶので、男子のグループと女子のグループの2つのグループの並び方は $2!$ 通りです。男子4人の並び方は $4!$ 通り、女子3人の並び方は $3!$ 通りです。したがって、並び方の総数は $2! \times 4! \times 3!$ 通りです。

(4) 8枚のカードから5枚を選んで5桁の数を作るとき、両端が偶数である数を考えます。

8枚のカードのうち偶数は2,4,6,8の4枚です。

まず、両端に偶数を並べる方法を考えます。4枚の偶数から2枚を選んで並べるので、$4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通りあります。

残りの3つの席には、残りの6枚のカードから3枚を選んで並べるので、$6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $4P2 \times 6P3 = 12 \times 120$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$ 通り

(2) $5P2 \times 5! = 20 \times 120 = 2400$ 通り

(3) $2! \times 4! \times 3! = 2 \times 24 \times 6 = 288$ 通り

(4) $4P2 \times 6P3 = 12 \times 120 = 1440$ 通り