与えられた5つの問題は以下の通りです。 (1) 5人が輪になるときの並び方の数を求める。 (2) 異なる色の8個の玉を円形に並べる並べ方の数を求める。 (3) 7人の中から4人を選んで円形に並べる並べ方の数を求める。 (4) 男子4人と女子3人が円形に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方の数を求める。 (5) 異なる色の6個の玉を糸でつないで首輪にする並べ方の数を求める。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題は以下の通りです。

(1) 5人が輪になるときの並び方の数を求める。

(2) 異なる色の8個の玉を円形に並べる並べ方の数を求める。

(3) 7人の中から4人を選んで円形に並べる並べ方の数を求める。

(4) 男子4人と女子3人が円形に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方の数を求める。

(5) 異なる色の6個の玉を糸でつないで首輪にする並べ方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 5人が輪になるときの並び方

円順列の公式を利用します。n人が円形に並ぶ並び方は $(n-1)!$ 通りです。

したがって、5人の場合は $(5-1)! = 4!$ となります。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(2) 異なる色の8個の玉を円形に並べる並べ方

円順列の公式を利用します。n個の異なるものを円形に並べる並び方は $(n-1)!$ 通りです。

したがって、8個の玉の場合は $(8-1)! = 7!$ となります。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(3) 7人の中から4人を選んで円形に並べる並べ方

まず、7人の中から4人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_7C_4$ で表されます。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、選んだ4人を円形に並べる並び方を求めます。これは $(4-1)! = 3!$ 通りです。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、全体の並べ方は $35 \times 6 = 210$ 通りです。

(4) 男子4人と女子3人が円形に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方

まず、女子3人をまとめて1つのグループと考えます。すると、男子4人と女子グループ1つの合計5つのものを円形に並べることになります。

これは $(5-1)! = 4! = 24$ 通りです。

次に、女子3人のグループ内での並び方を考えます。これは $3! = 6$ 通りです。

したがって、全体の並べ方は $24 \times 6 = 144$ 通りです。

(5) 異なる色の6個の玉を糸でつないで首輪にする並べ方

円順列ではあるものの、首輪のように裏返せる場合、並べ方は $\frac{(n-1)!}{2}$ となります。

したがって、6個の玉の場合は $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 24通り

(2) 5040通り

(3) 210通り

(4) 144通り

(5) 60通り