問題は以下の2つです。 (1) 命題「整数 $n$ が 5 の倍数でなければ、$n^2$ は 5 の倍数ではない」が真であることを証明する。 (2) 上記の命題を用いて、$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明する。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 命題「整数 $n$ が 5 の倍数でなければ、$n^2$ は 5 の倍数ではない」が真であることを証明する。

(2) 上記の命題を用いて、$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) 命題「整数 $n$ が 5 の倍数でなければ、$n^2$ は 5 の倍数ではない」の証明

この命題の対偶は「$n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数である」です。対偶が真であることを示せば、元の命題も真であると言えます。

$n^2$ が 5 の倍数であるとき、$n^2 = 5k$ （$k$ は整数）と表せます。

$n$ が 5 の倍数でないと仮定すると、$n = 5m + 1$, $5m + 2$, $5m + 3$, $5m + 4$ （$m$ は整数）のいずれかの形で表せます。

それぞれのケースで $n^2$ を計算してみます。

* $n = 5m + 1$ のとき、$n^2 = (5m + 1)^2 = 25m^2 + 10m + 1 = 5(5m^2 + 2m) + 1$

* $n = 5m + 2$ のとき、$n^2 = (5m + 2)^2 = 25m^2 + 20m + 4 = 5(5m^2 + 4m) + 4$

* $n = 5m + 3$ のとき、$n^2 = (5m + 3)^2 = 25m^2 + 30m + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4$

* $n = 5m + 4$ のとき、$n^2 = (5m + 4)^2 = 25m^2 + 40m + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1$

いずれの場合も、$n^2$ は 5 の倍数ではありません。これは、$n^2$ が 5 の倍数であるという仮定に矛盾します。したがって、$n$ は 5 の倍数でなければなりません。よって、対偶は真であり、元の命題も真です。

(2) $\sqrt{5}$ が有理数でないことの証明

背理法を用いて証明します。$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $p$, $q$ （$q \neq 0$）を用いて、

$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ と表せます。

両辺を2乗すると、$5 = \frac{p^2}{q^2}$ となり、$p^2 = 5q^2$ となります。

これは、$p^2$ が 5 の倍数であることを意味します。

(1) で証明した命題（の対偶）より、$p^2$ が 5 の倍数ならば、$p$ は 5 の倍数です。

したがって、$p = 5k$ （$k$ は整数）と表せます。

$p = 5k$ を $p^2 = 5q^2$ に代入すると、$(5k)^2 = 5q^2$ となり、$25k^2 = 5q^2$、つまり $5k^2 = q^2$ となります。

これは、$q^2$ が 5 の倍数であることを意味します。再び(1) で証明した命題（の対偶）より、$q^2$ が 5 の倍数ならば、$q$ は 5 の倍数です。

したがって、$p$ も $q$ も 5 の倍数となり、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt{5}$ は有理数であるという仮定が誤りであり、$\sqrt{5}$ は有理数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 命題「整数 $n$ が 5 の倍数でなければ、$n^2$ は 5 の倍数ではない」は真である。

(2) $\sqrt{5}$ は有理数ではない。