1つのサイコロを5回繰り返し投げたところ、ちょうど2回1の目が出た。このとき、3回目に1の目が出ていた条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回繰り返し投げたところ、ちょうど2回1の目が出た。このとき、3回目に1の目が出ていた条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

求める条件付き確率を $P(A|B)$ とする。ここで、$A$ は「3回目に1の目が出る」という事象、$B$ は「5回中ちょうど2回1の目が出る」という事象である。

条件付き確率の定義より、

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

である。

まず、$P(B)$ を計算する。

5回の試行で1が2回出る確率は、二項分布に従う。1が出る確率は $\frac{1}{6}$、1が出ない確率は $\frac{5}{6}$ であるから、

$P(B) = {}_5 C_2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$

次に、$P(A \cap B)$ を計算する。

$A \cap B$ は、「3回目に1の目が出て、5回中ちょうど2回1の目が出る」という事象である。

3回目に1の目が出ているので、残り4回の試行で1の目がちょうど1回出ればよい。

これは二項分布に従い、確率は

$P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times {}_4 C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^3 = \frac{1}{6} \times 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{125}{216} = \frac{500}{46656} = \frac{125}{11664}$

したがって、求める条件付き確率は

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{125}{11664}}{\frac{625}{3888}} = \frac{125}{11664} \times \frac{3888}{625} = \frac{125}{625} \times \frac{3888}{11664} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{15}$