袋Sと袋Tがあり、それぞれにくじが入っている。袋Sにはくじが10本、当たりくじが3本入っており、袋Tにはくじが6本、当たりくじが2本入っている。袋Sと袋Tを選ぶ確率はそれぞれ$1/2$である。当たりくじを引いたとき、それが袋Sに入っていた条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Sと袋Tがあり、それぞれにくじが入っている。袋Sにはくじが10本、当たりくじが3本入っており、袋Tにはくじが6本、当たりくじが2本入っている。袋Sと袋Tを選ぶ確率はそれぞれ$1/2$である。当たりくじを引いたとき、それが袋Sに入っていた条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋Sを選んで当たりくじを引く確率を計算する。袋Sを選ぶ確率は$1/2$であり、袋Sで当たりくじを引く確率は$3/10$なので、袋Sを選んで当たりくじを引く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20}$

次に、袋Tを選んで当たりくじを引く確率を計算する。袋Tを選ぶ確率は$1/2$であり、袋Tで当たりくじを引く確率は$2/6 = 1/3$なので、袋Tを選んで当たりくじを引く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

したがって、当たりくじを引く確率は、袋Sから引く場合と袋Tから引く場合を足し合わせて、

$\frac{3}{20} + \frac{1}{6} = \frac{9}{60} + \frac{10}{60} = \frac{19}{60}$

求める条件付き確率は、当たりくじを引いたときにそれが袋Sに入っていた確率なので、

$\frac{\text{袋Sを選んで当たりくじを引く確率}}{\text{当たりくじを引く確率}} = \frac{3/20}{19/60} = \frac{3}{20} \times \frac{60}{19} = \frac{3 \times 3}{19} = \frac{9}{19}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{19}$