YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。 (1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。 (2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。

(1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。

(2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) OとAが必ず偶数番目にある場合

YOKOHAMAの8文字のうち、偶数番目は4つある（2番目、4番目、6番目、8番目）。OとAはそれぞれ2つずつあるので、この4つの偶数番目に2つのOと2つのAを配置する方法を考える。

まず、4つの偶数番目の位置から2つを選び、そこにOを配置する。これは ${}_4 C_2$ 通り。残りの2つの偶数番目の位置にAを配置する。これは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。したがって、OとAを偶数番目に配置する方法は、

${}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = \frac{4!}{2!2!} \times 1 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

次に、残りの4つの文字（Y, K, H, M）と、OとAの配置によって空いた4つの奇数番目の位置に、これらの4つの文字を配置する。これは単に4つの文字を並べる順列なので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

最後に、上記2つの場合の数を掛け合わせる。

$6 \times 24 = 144$ 通り。

ただし、文字'H'が2つ存在するため、2!で割る必要があり、

$4! / 2! = 12$

よって、$6 \times 12 = 72$

しかし、上記の議論はOとAが区別できるという前提に基づいています。Oが2つ、Aが2つあるので、区別できません。従って、

${}_4 C_2 \times \frac{2!}{2!}\times \frac{2!}{2!} = 6 \times 1 \times 1 = 6$ 通り。

残りの4文字（Y, K, H, M）と残った4つの場所を並べる方法を考える。Hが2つあるため、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り

よって、並べ方は $6 \times 12 = 72$ 通り

(2) Y, K, H, Mがこの順にある場合

YOKOHAMAの8文字を並べる。Y, K, H, Mの順番は固定されているので、まず、Y, K, H, Mを全て同じ文字（例えばX）として考え、X, O, O, A, A, Hの6文字を並べることを考える。この並べ方は、$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{40320}{8} = 5040$ 通り。

Y, K, H, Mをこの順に並べることを考えると、8文字の並び方は $\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$ 通り。Y, K, H, Mの並び順を固定すると、

$\frac{8!}{2!2!4!} = \frac{40320}{4 \times 24} = \frac{40320}{96} = 420$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 72通り

(2) 420通り