$a$ は $0$ でない実数とする。 (1) 放物線 $y = ax^2 + 2a$ の $x = 1$ における接線を求める。 (2) 放物線 $y = 2x^2 + 2ax - 3$ と $x$ 軸との $2$ つの交点がともに $x > -1$ の範囲にあるための $a$ の条件を求める。 (3) $2$ つの放物線 $y = ax^2 + 2a$ と $y = 2x^2 + 2ax - 3$ が $1$ 点で接するときの $a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a$ は $0$ でない実数とする。

(1) 放物線 $y = ax^2 + 2a$ の $x = 1$ における接線を求める。

(2) 放物線 $y = 2x^2 + 2ax - 3$ と $x$ 軸との $2$ つの交点がともに $x > -1$ の範囲にあるための $a$ の条件を求める。

(3) $2$ つの放物線 $y = ax^2 + 2a$ と $y = 2x^2 + 2ax - 3$ が $1$ 点で接するときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = ax^2 + 2a$ を微分すると $y' = 2ax$ となる。$x = 1$ における接線の傾きは $2a$ である。

$x = 1$ のとき、$y = a(1)^2 + 2a = a + 2a = 3a$ となる。

よって、接線の方程式は $y - 3a = 2a(x - 1)$ となり、整理すると $y = 2ax + a$ である。

(2)

$f(x) = 2x^2 + 2ax - 3$ とする。

$f(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = (2a)^2 - 4(2)(-3) = 4a^2 + 24 > 0$ となり、$2$ つの実数解を持つ。

$2$ つの解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha > -1$ かつ $\beta > -1$ が条件である。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -a$, $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ である。

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = -a + 2 > 0$ より、$a < 2$。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + (\alpha + \beta) + 1 = -\frac{3}{2} - a + 1 = -\frac{1}{2} - a > 0$ より、$a < -\frac{1}{2}$。

また、$f(-1) = 2(-1)^2 + 2a(-1) - 3 = 2 - 2a - 3 = -1 - 2a > 0$ より、$2a < -1$, $a < -\frac{1}{2}$。

軸の位置は $x = -\frac{2a}{2(2)} = -\frac{a}{2} > -1$ より、$a < 2$。

以上より、$a < -\frac{1}{2}$ である。

(3)

$ax^2 + 2a = 2x^2 + 2ax - 3$ が $1$ つの実数解を持つ条件を求める。

$(a - 2)x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$。

判別式 $D = (-2a)^2 - 4(a - 2)(2a + 3) = 4a^2 - 4(2a^2 + 3a - 4a - 6) = 4a^2 - 8a^2 + 4a + 24 = -4a^2 + 4a + 24 = 0$。

$a^2 - a - 6 = 0$。

$(a - 3)(a + 2) = 0$。

$a = 3, -2$。

$a \neq 2$ であるので、これらは解として適切である。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2ax + a$

(2) $a < -\frac{1}{2}$

(3) $a = 3, -2$