1つのサイコロを3回繰り返し投げたとき、少なくとも1回奇数の目が出たという条件の下で、1回目に1の目が出ている条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回繰り返し投げたとき、少なくとも1回奇数の目が出たという条件の下で、1回目に1の目が出ている条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、事象Aを「少なくとも1回奇数の目が出る」とし、事象Bを「1回目に1の目が出る」とします。求めたいのは条件付き確率 $P(B|A)$ です。

条件付き確率は、 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ で求められます。

(1) $P(A)$ を求める:

「少なくとも1回奇数の目が出る」の余事象は「3回とも偶数の目が出る」です。

3回とも偶数の目が出る確率は、$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ です。

したがって、「少なくとも1回奇数の目が出る」確率は $P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ です。

(2) $P(A \cap B)$ を求める:

$A \cap B$ は「1回目に1の目が出て、かつ、少なくとも1回奇数の目が出る」という事象です。

1回目に1の目が出れば、奇数の目は少なくとも1回出ているので、「1回目に1の目が出る」という事象と同値です。

したがって、$P(A \cap B)$ は「1回目に1の目が出る」確率に等しく、 $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ です。

(3) $P(B|A)$ を求める:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{6} \times \frac{8}{7} = \frac{8}{42} = \frac{4}{21}$ です。

3. 最終的な答え

4/21