問題は2つの部分から成ります。 (1) 命題「整数 $n$ が5の倍数でなければ、$n^2$ は5の倍数ではない」が真であることを証明せよ。 (2) 上記の命題を利用して、$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明せよ。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から成ります。

(1) 命題「整数 $n$ が5の倍数でなければ、$n^2$ は5の倍数ではない」が真であることを証明せよ。

(2) 上記の命題を利用して、$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する：

元の命題の対偶は、「$n^2$ が5の倍数ならば、$n$ は5の倍数である」です。

この対偶が真であることを証明します。

$n^2$ が5の倍数であると仮定します。

$n$ は整数なので、ある素数の積で表すことができます。

$n = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k$ (ここで、$p_i$ は素数)

$n^2 = (p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_k)^2 = p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot ... \cdot p_k^2$

$n^2$ が5の倍数であるという仮定から、$n^2$ は素因数5を持つ必要があります。

したがって、$p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot ... \cdot p_k^2$ のいずれかの素数の2乗は5に等しくなければなりません。

つまり、$n$ の素因数の中に5が存在しなければなりません。

したがって、$n$ は5の倍数です。

対偶が真であるため、元の命題も真です。

(2) 背理法で証明する：

$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。

すると、互いに素な整数 $p$ と $q$ ($q \ne 0$) が存在して、

$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$

と表すことができます。

両辺を2乗すると、

$5 = \frac{p^2}{q^2}$

$5q^2 = p^2$

この式から、$p^2$ は5の倍数であることがわかります。

(1)で証明した命題より、$p^2$ が5の倍数ならば、$p$ も5の倍数です。

したがって、$p = 5k$ (ここで、$k$ は整数) と表すことができます。

これを $5q^2 = p^2$ に代入すると、

$5q^2 = (5k)^2$

$5q^2 = 25k^2$

$q^2 = 5k^2$

この式から、$q^2$ は5の倍数であることがわかります。

再び(1)で証明した命題より、$q^2$ が5の倍数ならば、$q$ も5の倍数です。

したがって、$p$ も $q$ も5の倍数となり、これは $p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt{5}$ は有理数であるという仮定が誤りであり、$\sqrt{5}$ は有理数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 整数 $n$ が5の倍数でなければ、$n^2$ は5の倍数ではない。（証明終わり）

(2) $\sqrt{5}$ は有理数ではない。（証明終わり）