袋の中に5色（青、黄、黒、緑、赤）の輪がそれぞれ2個ずつ入っています。輪の大きさと形状はどれも同じで、色の違い以外は区別がつきません。取り出した輪は元に戻さずに、袋の中から1個ずつ輪を取り出す操作を行います。 (1) 5回の操作を行うとき、青、黄、黒、緑、赤の順に輪が取り出される確率を求めます。 (2) 色の順を指定しないとき、5回目で5色全部が揃う確率を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

袋の中に5色（青、黄、黒、緑、赤）の輪がそれぞれ2個ずつ入っています。輪の大きさと形状はどれも同じで、色の違い以外は区別がつきません。取り出した輪は元に戻さずに、袋の中から1個ずつ輪を取り出す操作を行います。

(1) 5回の操作を行うとき、青、黄、黒、緑、赤の順に輪が取り出される確率を求めます。

(2) 色の順を指定しないとき、5回目で5色全部が揃う確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1回目の操作で青が出る確率は $\frac{2}{10}$ です。

2回目の操作で黄が出る確率は、1回目に青が出ているので、袋の中には9個の輪が残っており、黄色の輪は2個残っているので、確率は $\frac{2}{9}$ です。

3回目の操作で黒が出る確率は、1回目に青、2回目に黄が出ているので、袋の中には8個の輪が残っており、黒色の輪は2個残っているので、確率は $\frac{2}{8}$ です。

4回目の操作で緑が出る確率は、1回目に青、2回目に黄、3回目に黒が出ているので、袋の中には7個の輪が残っており、緑色の輪は2個残っているので、確率は $\frac{2}{7}$ です。

5回目の操作で赤が出る確率は、1回目に青、2回目に黄、3回目に黒、4回目に緑が出ているので、袋の中には6個の輪が残っており、赤色の輪は2個残っているので、確率は $\frac{2}{6}$ です。

したがって、求める確率は、

$\frac{2}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{32}{30240} = \frac{4}{3780} = \frac{1}{945}$

(2)

5回目で5色全てが揃うということは、4回目までに4色が出ていて、5回目で残りの1色が出るということです。

まず、5色の中から4色を選ぶ組み合わせは ${}_5 C_4 = 5$ 通りです。

4色を4回で取り出す順番は $4! = 24$ 通りです。

それぞれの色について2個ずつ輪があるので、4回目までに4色を取り出す確率は、

$\frac{2}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{2}{7} \times {}_5 C_4 \times 4! = \frac{2}{10} \times \frac{2}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{2}{7} \times 5 \times 24 = \frac{1920}{5040} = \frac{8}{21}$

5回目に残りの1色を取り出す確率は、 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

したがって、求める確率は

$\frac{8}{21} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{63}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{945}$

(2) $\frac{8}{63}$