自然数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。$n \geq 2$ のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表す問題を解く。

1. 問題の内容

自然数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。$n \geq 2$ のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表す問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、第$n$群の最初の数を求めるために、第$1$群から第$(n-1)$群までの項数の合計を考える。

第$k$群には$2^{k-1}$個の数が入っているので、第$1$群から第$(n-1)$群までの項数の合計は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-2}$$

これは初項1、公比2、項数$(n-1)$の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$$

したがって、第$1$群から第$(n-1)$群までの項数の合計は $2^{n-1} - 1$ である。

第$n$群の最初の数は、自然数の列の $(2^{n-1} - 1) + 1 = 2^{n-1}$ 番目の数であるから、$2^{n-1}$となる。

3. 最終的な答え

$2^{n-1}$