$p$ が素数であるとき、$p^4 + 14$ は素数でないことを示せ。

1. 問題の内容

$p$ が素数であるとき、$p^4 + 14$ は素数でないことを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$p$ が素数であるという条件から、$p$ の値を場合分けして考えます。

* **場合1: $p = 2$ のとき**

$p^4 + 14 = 2^4 + 14 = 16 + 14 = 30$ となり、30 は 2 で割り切れるため素数ではありません。

* **場合2: $p = 3$ のとき**

$p^4 + 14 = 3^4 + 14 = 81 + 14 = 95$ となり、95 は 5 で割り切れるため素数ではありません。

* **場合3: $p = 5$ のとき**

$p^4 + 14 = 5^4 + 14 = 625 + 14 = 639$ となり、639 は 3 で割り切れるため素数ではありません。

* **場合4: $p$ が 5 より大きい素数のとき**

$p$ は 5 より大きい素数なので、$p$ は 5 で割り切れません。

したがって、$p$ は $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$, $5k+4$ のいずれかの形で表されます（$k$ は整数）。

$p^4$ を 5 で割った余りを考えます。

* $p \equiv 1 \pmod{5}$ のとき、$p^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{5}$.

* $p \equiv 2 \pmod{5}$ のとき、$p^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

* $p \equiv 3 \pmod{5}$ のとき、$p^4 \equiv 3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5}$.

* $p \equiv 4 \pmod{5}$ のとき、$p^4 \equiv 4^4 \equiv 256 \equiv 1 \pmod{5}$.

したがって、いずれの場合も $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ が成り立ちます。

$p^4 + 14 \equiv 1 + 14 \equiv 15 \equiv 0 \pmod{5}$

つまり、$p^4 + 14$ は 5 で割り切れます。

$p > 5$ より $p^4 + 14 > 5^4 + 14 = 639 > 5$ であるため、$p^4 + 14$ は 5 より大きい数なので、素数ではありません。

以上より、すべての場合において、$p^4 + 14$ は素数ではありません。

3. 最終的な答え

$p$ が素数ならば $p^4 + 14$ は素数ではない。