自然数の列が、各群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群分けされている。 (1) $n \ge 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列が、各群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群分けされている。

(1) $n \ge 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $1$ 群から第 $(n-1)$ 群までに入る数の個数に1を加えた数である。

第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の数が入るので、第 $1$ 群から第 $(n-1)$ 群までに入る数の個数は、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1

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したがって、第 $n$ 群の最初の数は、

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(2^{n-1} - 1) + 1 = 2^{n-1}

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これは $n \ge 2$ で成り立つ。

$n = 1$ のとき、第 $1$ 群の最初の数は $1$ であり、 $2^{1-1} = 2^0 = 1$ となるため、 $n=1$ でも成り立つ。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入る。

第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ なので、第 $n$ 群の数は、

$2^{n-1}, 2^{n-1}+1, 2^{n-1}+2, \dots, 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1)$ となる。

したがって、第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ は、

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S = \sum_{k=0}^{2^{n-1}-1} (2^{n-1} + k) = \sum_{k=0}^{2^{n-1}-1} 2^{n-1} + \sum_{k=0}^{2^{n-1}-1} k

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= 2^{n-1} \cdot 2^{n-1} + \frac{(2^{n-1}-1)(2^{n-1})}{2}

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= 2^{2n-2} + \frac{2^{2n-2} - 2^{n-1}}{2}

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= 2^{2n-2} + 2^{2n-3} - 2^{n-2}

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= 2^{n-2}(2^n + 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(2^n + 2^{n-1} - 1)

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= 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)

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3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$: $2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$