三角形ABCにおいて、$c = 8$、$\angle C = 150^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$c = 8$、$\angle C = 150^\circ$のとき、外接円の半径$R$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、$a, b, c$を各辺の長さ、$A, B, C$を各角の大きさとするとき、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

が成り立つというものである。ここで$R$は三角形ABCの外接円の半径である。

問題では、$c = 8$、$\angle C = 150^\circ$が与えられているので、正弦定理より、

$$\frac{c}{\sin C} = 2R$$

が成り立つ。よって、

$$\frac{8}{\sin 150^\circ} = 2R$$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$$\frac{8}{\frac{1}{2}} = 2R$$

$$16 = 2R$$

$$R = 8$$

3. 最終的な答え

$R = 8$