図において、PQ, PR, RQはそれぞれ半円O, A, Bの直径であり、OP = r cm、AP = a cm、BQ = b cmである。このとき、$\overline{PQ} = \overline{PR} + \overline{RQ}$を証明する。

1. 問題の内容

図において、PQ, PR, RQはそれぞれ半円O, A, Bの直径であり、OP = r cm、AP = a cm、BQ = b cmである。このとき、$\overline{PQ} = \overline{PR} + \overline{RQ}$を証明する。

2. 解き方の手順

まず、各半円の直径を計算します。

- PQは直径がPO+OR+RB+BQであり、PO=r, AP=a, BQ=bより、PQ=PO+AP+BQとなる。よって、PQの直径は $PQ = r+r+a+b=2r+a+b$ となる。

- PRは直径がPA+AO+ORであり、AP=a, PO=rであることから、PR=PA+AO+OR=a+r+r=a+2r よって、PRの直径は $PR = r+a$ となる。半円Aの直径はAP+AO=a+rとなるので$PR=\pi(a+r)/2$。

- RQは直径がRB+BQであり、BQ=b, OR=rなので、RQ=RB+BQ = r+b 。よって、RQの直径は $RQ=b+r$となる。半円Bの直径はOB+BQ=r+bとなるので、$RQ=\pi(b+r)/2$。

求める関係式$\overline{PQ} = \overline{PR} + \overline{RQ}$を円周の長さの式で書き換えます。

$\overline{PQ}$は、半径$(2r+a+b)/2$ の半円の弧の長さなので、$\overline{PQ} = \pi (2r+a+b)/2$。

$\overline{PR}$は、半径$(a+r)/2$ の半円の弧の長さなので、$\overline{PR} = \pi (a+r)/2$。

$\overline{RQ}$は、半径$(b+r)/2$ の半円の弧の長さなので、$\overline{RQ} = \pi (b+r)/2$。

したがって、$\overline{PR} + \overline{RQ} = \pi (a+r)/2 + \pi (b+r)/2 = \pi (a+r+b+r)/2 = \pi (a+b+2r)/2$。

$\overline{PQ}$と $\overline{PR} + \overline{RQ}$を比較すると、$\overline{PQ} = \pi (2r+a+b)/2 = \pi (a+b+2r)/2 = \overline{PR} + \overline{RQ}$。

3. 最終的な答え

$\overline{PQ} = \overline{PR} + \overline{RQ}$