整数 $n$ について、以下の3つの命題を示す問題です。 (1) $n(n+1)$ は偶数である。 (2) $n(n+1)(2n+1)$ は6の倍数である。 (3) $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ は30の倍数である。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、以下の3つの命題を示す問題です。

(1) $n(n+1)$ は偶数である。

(2) $n(n+1)(2n+1)$ は6の倍数である。

(3) $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ は30の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $n(n+1)$ について

$n$が偶数のとき、$n = 2k$ (kは整数)とおける。このとき、$n(n+1) = 2k(2k+1)$となり、これは偶数である。

$n$が奇数のとき、$n = 2k+1$ (kは整数)とおける。このとき、$n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$となり、$n(n+1) = (2k+1)2(k+1) = 2(2k+1)(k+1)$となり、これは偶数である。

よって、$n(n+1)$は常に偶数である。

(2) $n(n+1)(2n+1)$ について

(1)より、$n(n+1)$は偶数なので、2の倍数である。したがって、$n(n+1)(2n+1)$ は2の倍数である。

次に、$n(n+1)(2n+1)$が3の倍数であることを示す。

$n$を3で割った余りは、0, 1, 2のいずれかである。

- $n$が3の倍数の場合、$n = 3k$ (kは整数) とおけるので、$n(n+1)(2n+1) = 3k(3k+1)(6k+1)$となり、これは3の倍数である。

- $n$を3で割った余りが1の場合、$n = 3k+1$ (kは整数) とおけるので、$n+1 = 3k+2$, $2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$となり、$n(n+1)(2n+1) = (3k+1)(3k+2)(3(2k+1)) = 3(3k+1)(3k+2)(2k+1)$となり、これは3の倍数である。

- $n$を3で割った余りが2の場合、$n = 3k+2$ (kは整数) とおけるので、$n+1 = 3k+3 = 3(k+1)$となり、$n(n+1)(2n+1) = (3k+2)(3(k+1))(2(3k+2)+1) = 3(3k+2)(k+1)(6k+5)$となり、これは3の倍数である。

よって、$n(n+1)(2n+1)$は常に3の倍数である。

$n(n+1)(2n+1)$は2の倍数であり、3の倍数であるので、6の倍数である。

(3) $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ について

(2)より、$n(n+1)(2n+1)$は6の倍数である。

$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$が5の倍数であることを示す。

$n$を5で割った余りは、0, 1, 2, 3, 4のいずれかである。

- $n$が5の倍数の場合、$n = 5k$ (kは整数) とおけるので、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) = 5k(5k+1)(10k+1)(3(5k)^2+3(5k)-1)$となり、これは5の倍数である。

- $n$を5で割った余りが1の場合、$n = 5k+1$ (kは整数) とおけるので、$3n^2+3n-1 = 3(5k+1)^2+3(5k+1)-1 = 3(25k^2+10k+1)+15k+3-1 = 75k^2+30k+3+15k+2 = 75k^2+45k+5 = 5(15k^2+9k+1)$となり、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) = (5k+1)(5k+2)(10k+3)5(15k^2+9k+1)$となり、これは5の倍数である。

- $n$を5で割った余りが2の場合、$n = 5k+2$ (kは整数) とおけるので、$n+1 = 5k+3$, $3n^2+3n-1 = 3(5k+2)^2 + 3(5k+2) -1 = 3(25k^2 + 20k + 4) + 15k + 6 - 1 = 75k^2 + 60k + 12 + 15k + 5 = 75k^2 + 75k + 17 \equiv 2 \pmod{5}$

$2n+1 = 10k+5=5(2k+1)$となり、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) = (5k+2)(5k+3)5(2k+1)(3n^2+3n-1)$となり、これは5の倍数である。

- $n$を5で割った余りが3の場合、$n = 5k+3$ (kは整数) とおけるので、$n(n+1)(2n+1)$は常に6の倍数であるので、$n(n+1)(2n+1)=(5k+3)(5k+4)(10k+7)$. $3n^2+3n-1=3(25k^2+30k+9)+3(5k+3)-1=75k^2+90k+27+15k+9-1=75k^2+105k+35 = 5(15k^2+21k+7)$ $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)=(5k+3)(5k+4)(10k+7)(5)(15k^2+21k+7)$.となり、これは5の倍数である。

- $n$を5で割った余りが4の場合、$n = 5k+4$ (kは整数) とおけるので、$n+1 = 5k+5 = 5(k+1)$ $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)=(5k+4)(5k+5)(10k+9)(3n^2+3n-1)=(5k+4)5(k+1)(10k+9)(3n^2+3n-1)$となり、これは5の倍数である。

よって、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$は常に5の倍数である。

$n(n+1)(2n+1)$は6の倍数であり、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$は5の倍数であるので、$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$は30の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n(n+1)$ は偶数である。

(2) $n(n+1)(2n+1)$ は6の倍数である。

(3) $n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ は30の倍数である。