座標空間における3点A(4,0,2), B(0,3,5), C(5,9,0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとし、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。 (1) $\vec{OH}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。 (2) $\vec{CH'}$を$\vec{CA}$と$\vec{CB}$で表す。 (3) 点Pを線分OC上にとり、$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるようにする。点Pから直線ABに垂線を下ろし、その足をQとするとき、PQを求める。

1. 問題の内容

座標空間における3点A(4,0,2), B(0,3,5), C(5,9,0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとし、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。

(1) $\vec{OH}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

(2) $\vec{CH'}$を$\vec{CA}$と$\vec{CB}$で表す。

(3) 点Pを線分OC上にとり、$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるようにする。点Pから直線ABに垂線を下ろし、その足をQとするとき、PQを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{OH} = s \vec{OA} + t \vec{OB}$とおく。点Hは直線AB上にあるから、ある実数kを用いて$\vec{AH} = k \vec{AB}$と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + k \vec{AB} = \vec{OA} + k(\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k) \vec{OA} + k \vec{OB}$

$\vec{OH} \perp \vec{AB}$より、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = ((1-k)\vec{OA} + k \vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k)(\vec{OA} \cdot \vec{OB} - |\vec{OA}|^2) + k(|\vec{OB}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OB}) = 0$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4*0 + 0*3 + 2*5 = 10$

$|\vec{OA}|^2 = 4^2 + 0^2 + 2^2 = 20$

$|\vec{OB}|^2 = 0^2 + 3^2 + 5^2 = 34$

$(1-k)(10-20) + k(34-10) = 0$

$-10(1-k) + 24k = 0$

$-10 + 10k + 24k = 0$

$34k = 10$

$k = \frac{10}{34} = \frac{5}{17}$

$\vec{OH} = (1-\frac{5}{17})\vec{OA} + \frac{5}{17}\vec{OB} = \frac{12}{17}\vec{OA} + \frac{5}{17}\vec{OB}$

(2)

$\vec{CA} = \begin{pmatrix} -1 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{CB} = \begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{CH'} = l \vec{CA} + m \vec{CB}$とおく。

$\vec{CH'} = n \vec{AB}$より、$\vec{CH'} = \vec{CA} + t \vec{AB} = \vec{CA} + t(\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{CA} + t(\vec{CB} - \vec{CA}) = (1-t)\vec{CA} + t\vec{CB}$

$\vec{CH'} \perp \vec{AB}$より、$\vec{CH'} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{CH'} = (1-t)\vec{CA} + t\vec{CB} = (1-t) \begin{pmatrix} -1 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+t-5t \\ -9+9t-6t \\ 2-2t+5t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-4t \\ -9+3t \\ 2+3t \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1-4t \\ -9+3t \\ 2+3t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = (-1-4t)(-4) + (-9+3t)(3) + (2+3t)(3) = 4+16t -27+9t + 6+9t = 0$

$34t - 17 = 0$

$t = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}$

$\vec{CH'} = (1-\frac{1}{2})\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{CB}$

(3)

$\vec{OC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}$

点Pは線分OC上にあるから、$\vec{OP} = u \vec{OC} = u \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5u \\ 9u \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{PQ} \parallel \vec{CH'}$であるので、$\vec{PQ} = v \vec{CH'}$

$\vec{PH} = \vec{OH} - \vec{OP} = \frac{12}{17}\vec{OA} + \frac{5}{17}\vec{OB} - u\vec{OC} = \frac{12}{17}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{5}{17}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} - u\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{48}{17} - 5u \\ \frac{15}{17} - 9u \\ \frac{24}{17} + \frac{25}{17} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{48}{17} - 5u \\ \frac{15}{17} - 9u \\ \frac{49}{17} \end{pmatrix}$

$\vec{PH'} = \vec{OH'} - \vec{OP} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB} - u \vec{OC}$

$\vec{H'} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3/2 \\ 7/2 \end{pmatrix}$

$\vec{PH'} = \begin{pmatrix} 2 - 5u \\ \frac{3}{2} - 9u \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix}$

$|\vec{HH'}| = \sqrt{(\frac{10}{17})^2 + (\frac{9}{34})^2 + (\frac{15}{34})^2} = \frac{\sqrt{34}}{2} |\vec{HH'}|$

$|\vec{HH'}| = \sqrt{(2-\frac{48}{17})^2 + (\frac{3}{2} - \frac{15}{17})^2 + (\frac{7}{2} - \frac{49}{17})^2} = \sqrt{(\frac{-14}{17})^2 + (\frac{21}{34})^2 + (\frac{21}{34})^2} = \frac{\sqrt{14^2 + (21/2)^2 + (21/2)^2}}{17} = \frac{35}{34} \sqrt{2}$

$\triangle PHH' = \frac{1}{2} |PQ| |\vec{HH'}| = \frac{\sqrt{34}}{4}$

$|PQ| = \frac{\frac{\sqrt{34}}{2}}{|\vec{HH'}|} = \frac{\sqrt{34}}{2 \cdot |\vec{HH'}|}$

$P$は$OC$上にあるので、$P = tC$とおける。このとき、$PQ$は$AB$に平行なので、$\vec{PQ} = k (\vec{CH'})$となる。

$\vec{CH'} = \frac{1}{2} (\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} - \vec{OC} + \vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB} - 2 \vec{OC})$

$\vec{HH'} = H' - H = (\vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB}) - (\frac{12}{17}\vec{OA} + \frac{5}{17}\vec{OB}) = (\frac{5}{17}\vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OA}) = \frac{-7}{34}\vec{OA} + \frac{8}{34} \vec{OB}$

$\vec{PQ} = k \vec{CH'}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OH} = \frac{12}{17}\vec{OA} + \frac{5}{17}\vec{OB}$

(2) $\vec{CH'} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{CB}$

(3) $PQ = \frac{3}{2}$