ある正の整数 $n$ を10進法で表すと2桁になり、そのときの各位の数字の並びは、整数 $n+2$ を6進法で表したときの各位の数字の並びと逆順になる。このとき、$n$ を10進法で表した値と、$n$ を2進法で表した値を求めよ。

1. 問題の内容

ある正の整数 $n$ を10進法で表すと2桁になり、そのときの各位の数字の並びは、整数 $n+2$ を6進法で表したときの各位の数字の並びと逆順になる。このとき、$n$ を10進法で表した値と、$n$ を2進法で表した値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n$ を10進法で $10a + b$ と表す。ここで、$a$ と $b$ は $0 \le a, b \le 9$ を満たす整数であり、$a \neq 0$ である。

$n+2$ を6進法で表すと、$10a + b + 2$ の各位の数字が逆順になるので、$6b' + a'$ と表せる。ここで、$a'$ と $b'$ は $0 \le a', b' \le 5$ を満たす整数である。

問題文より、$a' = b$ かつ $b' = a$ であるから、$n+2 = 6a + b$ と表せる。

したがって、$10a + b + 2 = 6a + b$ である。

これを整理すると、$4a = -2$ となるが、$a$ は整数なので、この式は成り立たない。

問題文をよく見ると、$n+2$を6進法で表したとき2桁になるとは書いていない。

$n = 10a+b$ (ただし、$1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$)

$n+2 = 6x+y$ (ただし、$0 \le x,y \le 5$)

ここで、$x = b$ かつ $y = a$

$n+2 = 6b+a$

$10a+b+2 = 6b+a$

$9a+2 = 5b$

$5b$ は偶数なので、$9a$ は偶数である必要がある。よって、$a$ は偶数。

$a=2$ のとき $18+2 = 5b$ なので、$20=5b$ から $b=4$

$n = 10a+b = 10(2)+4 = 24$

$n+2 = 26$

$26 = 6 \times 4 + 2 = 42_6$

$n=24$ は条件を満たす。

次に、$n=24$ を2進法で表す。

$24 = 16 + 8 = 2^4 + 2^3 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$

したがって、$24 = 11000_2$

3. 最終的な答え

$n$ を10進法で表すと $24$

$n$ を2進法で表すと $11000_2$