10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。3本を同時に引くとき、3本とも外れる確率を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。3本を同時に引くとき、3本とも外れる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、くじの引き方の総数を計算します。これは10本から3本を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_3$で計算できます。

次に、3本とも外れる引き方を計算します。外れくじは7本あるので、7本から3本を選ぶ組み合わせ、すなわち$_{7}C_3$で計算できます。

したがって、3本とも外れる確率は、$\frac{_{7}C_3}{_{10}C_3}$で計算できます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

よって、3本とも外れる確率は$\frac{35}{120}$です。

これを約分すると$\frac{7}{24}$になります。

3. 最終的な答え

$\frac{7}{24}$