白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の計6個の玉がある。 (1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) 6個すべての玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の計6個の玉がある。

(1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) 6個すべての玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6個の玉を円形に並べる場合の数

まず、6個の玉を一直線に並べる場合の数を求める。これは同じものを含む順列の考え方で、

$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = 60$ 通り

次に、円順列なので、上の数値を6で割る。

しかし、すべての順列が6個の回転で重複するわけではないので、別の考え方を使う。

1つの玉、例えば赤玉を固定して考えると、残りの5個の玉を並べる順列を考えればよい。このとき白玉3個、黒玉2個を並べる順列となるので、

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$ 通り

(2) 6個の玉にひもを通し、輪を作る場合の数

(1)で求めた円順列のそれぞれについて、裏返す（ひっくり返す）と一致するものを同一とみなす。

(1)の場合の数を数え上げ、裏返すと一致するものが何組あるかを考える必要がある。

10通りの並び方を具体的に書き出してみる。

赤玉を固定し、残りの玉の並び方をWを白、Bを黒とすると、

(1) WWWBB

(2) WWWBW

(3) WWBWW

(4) WBWWW

(5) BWWWW

(6) WWBBW

(7) WBWBW

(8) BWBWW

(9) WBBWW

(10) BBWWW

これらのうち、ひっくり返すと一致するものを探す。

(1)と(5), (2)と(4)が一致するので、(3),(6),(7),(8),(9),(10)は一致するものがない。

まず、(1)と(5)は裏返すと一致する。

(2)と(4)も裏返すと一致する。

Wの並び方が対称的な場合は、ひっくり返しても同じになる。

WBBWWをひっくり返すと、WWBBWになるので、(6)と(9)が一致する。

BWBWWをひっくり返すと、WWBWBなので一致するものが無い。

したがって、裏返して一致するものは以下の通り。

WWWBWとWBWWW

WWWBBとBBWWW

WBBWWとWWBBW

10通りのうち、3組（6通り）が裏返すと一致するので、残りの4通りは一致しない。

したがって、$\frac{6}{2} + 4 = 3 + 4 = 7$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 7通り