$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の (1) の方程式と (2) の不等式を解きます。 (1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$ (2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の (1) の方程式と (2) の不等式を解きます。

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$

$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

与式に代入すると、

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) = 0$

$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = 0$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = 0, \pi$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

(1)と同様に $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表すと

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta > 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta > 0$

$\sin \theta (1 - 2\sin \theta) > 0$

$\sin \theta (2\sin \theta - 1) < 0$

したがって、

$0 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\sin \theta > 0$ なので、$\theta$ の範囲は $0 < \theta < \pi$。

$0 < \sin \theta < \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲は、

$0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$

$2\pi$周期で考えると、$\pi < \theta < 2\pi$ の範囲で$\sin \theta < 0$となるので、これを考慮すると

$2\pi n < \theta < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ または $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < \theta < \pi + 2\pi n$ (nは整数)

$0 \le \theta < 2\pi$ で考えると、

$0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$