三角形ABCにおいて、$a=3$, $c=2\sqrt{3}$, $B=30^\circ$であるとき、辺ACの長さ$b$を余弦定理を用いて求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $c=2\sqrt{3}$, $B=30^\circ$であるとき、辺ACの長さ$b$を余弦定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$が成り立つ。

与えられた値を代入して、$b$を求める。

$b^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(3)(2\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$b^2 = 9 + 12 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 21 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 21 - 12 \cdot \frac{3}{2}$

$b^2 = 21 - 18$

$b^2 = 3$

$b > 0$ より

$b = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{3}$