A, B, C, Dの4人が輪の形に並ぶときの円順列について考える。 (1) 与えられた円順列の図が、円順列として同じ並び方となるように、B, C, Dを記入する。 (2) 4人の円順列の総数について、壁谷さんと畑野さんの考え方の違いを記述する。具体的には、畑野さんの考え方による円順列の総数の計算式を記述し、その計算式について解説するとともに、壁谷さんの考え方との違いを説明する。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人が輪の形に並ぶときの円順列について考える。

(1) 与えられた円順列の図が、円順列として同じ並び方となるように、B, C, Dを記入する。

(2) 4人の円順列の総数について、壁谷さんと畑野さんの考え方の違いを記述する。具体的には、畑野さんの考え方による円順列の総数の計算式を記述し、その計算式について解説するとともに、壁谷さんの考え方との違いを説明する。

2. 解き方の手順

(1) 円順列において、ある要素を基準に見たときの相対的な位置関係が同じであれば、それらは同じ並び方とみなされる。与えられた図でAの位置を固定し、そこから反時計回りにB, C, Dが並んでいる。他の図においても、Aから反時計回りにB, C, Dが並ぶようにB, C, Dを配置する。

(2) (ア) 壁谷さんは、Aを固定して残りの3人を並べる順列として円順列の総数を計算した。畑野さんは、円順列の性質、すなわち回転して同じになるものは同じとみなすという性質を利用して計算する。4人が円形に並ぶ並び方は全部で4! = 24通りあるが、そのうち4つは回転すると同じ並び方になるので、4で割る必要がある。

$4! / 4 = (4 \times 3 \times 2 \times 1) / 4 = 3 \times 2 \times 1 = 6$

(イ) 畑野さんの計算式は、まず4人の並び方全て（$4!$）を数え上げ、次に回転して同じになる並びの重複を解消するために、その並びの個数4で割る、という考え方に基づく。壁谷さんは、最初からAを固定することで重複を排除している。つまり、壁谷さんは「代表」を選び、残りを並べる考え方であり、畑野さんは全ての並べ方を数え上げてから重複を「事後的に」取り除く考え方である。

3. 最終的な答え

(1) (左から順に)

B, C, D

C, D, B

D, B, C

(2) (ア) $4! / 4 = 6$

(イ)

畑野さんの計算式は、4人の並び方全て（$4!$）を数え上げ、次に回転して同じになる並びの重複を解消するために、その並びの個数4で割る、という考え方に基づく。壁谷さんは、最初からAを固定することで重複を排除している。つまり、壁谷さんは「代表」を選び、残りを並べる考え方であり、畑野さんは全ての並べ方を数え上げてから重複を「事後的に」取り除く考え方である。