5人の人を、A, B, C の3つのグループに分ける方法が何通りあるかを求める問題です。ただし、各グループに必ず1人以上が入る必要があります。

1. 問題の内容

5人の人を、A, B, C の3つのグループに分ける方法が何通りあるかを求める問題です。ただし、各グループに必ず1人以上が入る必要があります。

2. 解き方の手順

まず、5人を3つのグループに分ける人数の組み合わせを考えます。各グループに最低1人ずつ入れる必要があるため、あり得る組み合わせは以下の通りです。

* (3, 1, 1) : 3人、1人、1人のグループに分ける

* (2, 2, 1) : 2人、2人、1人のグループに分ける

それぞれのケースについて、グループ分けの方法の数を計算します。

(1) (3, 1, 1)の場合

まず、5人の中から3人を選ぶ方法は ${}_5 C_3$ 通りです。残りの2人から1人を選ぶ方法は ${}_2 C_1$ 通り、最後の1人は自動的に決まります。ただし、1人のグループが2つあるため、グループの区別をなくすために2!で割る必要があります。したがって、

$\frac{{}_5 C_3 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1}{2!} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{1!1!} \times 1}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10$ 通りとなります。

次に、3人、1人、1人のグループをA, B, Cのいずれかに割り当てる方法は3! = 6通りあります。

したがって、(3,1,1)のグループ分けでA,B,Cのいずれかに割り当てる方法は $10 \times 3 = 30$ 通りとなります。

(2) (2, 2, 1)の場合

まず、5人の中から2人を選ぶ方法は ${}_5 C_2$ 通りです。残りの3人から2人を選ぶ方法は ${}_3 C_2$ 通り、最後の1人は自動的に決まります。2人のグループが2つあるため、グループの区別をなくすために2!で割る必要があります。したがって、

$\frac{{}_5 C_2 \times {}_3 C_2 \times {}_1 C_1}{2!} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1}{2} = \frac{10 \times 3}{2} = 15$ 通りとなります。

次に、2人、2人、1人のグループをA, B, Cのいずれかに割り当てる方法は3! = 6通りあります。A,Bに2人が入るとCは1人に決定するので、$2!$で割る必要はありません。

したがって、(2,2,1)のグループ分けでA,B,Cのいずれかに割り当てる方法は $15 \times 3 = 45$ 通りとなります。

最後に、(3,1,1)の場合と(2,2,1)の場合の数を足し合わせます。

$30 + 45 = 75$

3. 最終的な答え

75通り