$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{6}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{6}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法で証明します。

* $\sqrt{3} + \sqrt{6}$ が無理数でない、つまり有理数であると仮定します。

$\sqrt{3} + \sqrt{6} = r$ （$r$は有理数）とおきます。

* 両辺を2乗します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = r^2$

$3 + 2\sqrt{18} + 6 = r^2$

$9 + 2\sqrt{9 \cdot 2} = r^2$

$9 + 2 \cdot 3 \sqrt{2} = r^2$

$9 + 6\sqrt{2} = r^2$

* $\sqrt{2}$ について解きます。

$6\sqrt{2} = r^2 - 9$

$\sqrt{2} = \frac{r^2 - 9}{6}$

* $r$ が有理数であることから、$\frac{r^2 - 9}{6}$ も有理数です。これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。

* したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{6}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

ケ：①

コ：2

サ：2

シ：②