四角形ABCDにおいて、$AB = AD = 10$, $BC = 6$, $\angle ABC = 120^\circ$, 直線ACと直線DBの交点をEとし, $AE:EC = 5:3$とする。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。 (3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。 (4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分するとき、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。 (5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率は$\pi$として計算すること。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = AD = 10$, $BC = 6$, $\angle ABC = 120^\circ$, 直線ACと直線DBの交点をEとし, $AE:EC = 5:3$とする。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。

(3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。

(4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分するとき、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。

(5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率は$\pi$として計算すること。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$ を用いる。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

(2) EFの長さを求める。

$\triangle AEF \sim \triangle ABC$より、$AE:AC = EF:BC$

$AE:EC = 5:3$より、$AE:AC = 5:(5+3) = 5:8$

よって、$EF = \frac{5}{8}BC = \frac{5}{8} \times 6 = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

(3) CHの長さを求める。

$\angle ABC = 120^\circ$なので、$\angle CBH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。

$\triangle DBH$において、$BH = BC \cos 60^\circ = 6 \times \frac{1}{2} = 3$

よって、$CH = BC - BH = 6 - 3 = 3$

(4) BPの長さを求める。

四角形ABCDの面積を4等分する直線が3本あるとき、そのうちの2本は頂点Dから辺ABに出ている。残りの1本は頂点Dから辺BC上の点Pに出ている。四角形ABCDの面積を$S$とすると、$S_{ABC} = 15\sqrt{3}$.

四角形ADCDの面積を4等分するため、$\triangle DBC$の面積は四角形ABCDの面積の半分である必要があり、それ以外の2つの領域の面積は同じでなければならない。四角形ABCDの面積は不明なのでこの解法は使用できない。

重心を使う必要がありそうだが、重心は四角形の面積を三等分するだけで、四等分はできない。

Dから対角線ACに平行な線を引き、BCの延長線との交点をQとする。ADとBCの延長線の交点をRとすると、台形ADCQの面積が四角形ABCDの面積の半分になるようにする必要がある。

台形ADCQの面積を$S_{ADCQ}$とする。

$S_{ADCQ} = \frac{1}{2}(AD + CQ) h = \frac{1}{2} (10+CQ) h$

四角形ABCDの面積を$S_{ABCD}$とすると、$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin (\angle DAC)$.

この方法は複雑すぎるので、別の方法を検討する必要がある。

四角形ABCDの面積を4等分する3つの直線は点Dを通るので、DPは四角形ABCDの面積を1/4にする。四角形ABCDの面積を$S$とすると、$\triangle DBC$の面積は$\frac{1}{4}S$となる。

$S_{DBC} = \frac{1}{2} BC \cdot DH = \frac{1}{2} 6 \cdot DH = 3DH = \frac{1}{4}S$

四角形ABCDの面積はわかりません。よって、面積四等分線は、四角形ABCDの重心を通る性質を利用する必要がある。

(5) 回転体の体積を求める。

3. 最終的な答え

(1) $15\sqrt{3}$

(2) $\frac{15}{4}$

(3) $3$

(4)

(5)