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四角形ABCDにおいて、$AB = AD = 10$, $BC = 6$, $\angle ABC = 120^\circ$, 直線ACと直線DBの交点をEとし, $AE:EC = 5:3$とする。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。 (3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。 (4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分するとき、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。 (5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率は$\pi$として計算すること。

幾何学四角形三角形面積角度相似体積回転体
2025/3/9

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=AD=10AB = AD = 10, BC=6BC = 6, ∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circ, 直線ACと直線DBの交点をEとし, AE:EC=5:3AE:EC = 5:3とする。
(1) 三角形ABCの面積を求めよ。
(2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。
(3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。
(4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分するとき、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。
(5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率はπ\piとして計算すること。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。
三角形の面積の公式 S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin{C} を用いる。
SABC=12×AB×BC×sin⁡120∘=12×10×6×32=153S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}
(2) EFの長さを求める。
△AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABCより、AE:AC=EF:BCAE:AC = EF:BC
AE:EC=5:3AE:EC = 5:3より、AE:AC=5:(5+3)=5:8AE:AC = 5:(5+3) = 5:8
よって、EF=58BC=58×6=308=154EF = \frac{5}{8}BC = \frac{5}{8} \times 6 = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}
(3) CHの長さを求める。
∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circなので、∠CBH=180∘−120∘=60∘\angle CBH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ。
△DBH\triangle DBHにおいて、BH=BCcos⁡60∘=6×12=3BH = BC \cos 60^\circ = 6 \times \frac{1}{2} = 3
よって、CH=BC−BH=6−3=3CH = BC - BH = 6 - 3 = 3
(4) BPの長さを求める。
四角形ABCDの面積を4等分する直線が3本あるとき、そのうちの2本は頂点Dから辺ABに出ている。残りの1本は頂点Dから辺BC上の点Pに出ている。四角形ABCDの面積をSSとすると、SABC=153S_{ABC} = 15\sqrt{3}.
四角形ADCDの面積を4等分するため、△DBC\triangle DBCの面積は四角形ABCDの面積の半分である必要があり、それ以外の2つの領域の面積は同じでなければならない。四角形ABCDの面積は不明なのでこの解法は使用できない。
重心を使う必要がありそうだが、重心は四角形の面積を三等分するだけで、四等分はできない。
Dから対角線ACに平行な線を引き、BCの延長線との交点をQとする。ADとBCの延長線の交点をRとすると、台形ADCQの面積が四角形ABCDの面積の半分になるようにする必要がある。
台形ADCQの面積をSADCQS_{ADCQ}とする。
SADCQ=12(AD+CQ)h=12(10+CQ)hS_{ADCQ} = \frac{1}{2}(AD + CQ) h = \frac{1}{2} (10+CQ) h
四角形ABCDの面積をSABCDS_{ABCD}とすると、SABCD=SABC+SADCS_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}
SADC=12AD⋅AC⋅sin⁡(∠DAC)S_{ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC \cdot \sin (\angle DAC).
この方法は複雑すぎるので、別の方法を検討する必要がある。
四角形ABCDの面積を4等分する3つの直線は点Dを通るので、DPは四角形ABCDの面積を1/4にする。四角形ABCDの面積をSSとすると、△DBC\triangle DBCの面積は14S\frac{1}{4}Sとなる。
SDBC=12BC⋅DH=126⋅DH=3DH=14SS_{DBC} = \frac{1}{2} BC \cdot DH = \frac{1}{2} 6 \cdot DH = 3DH = \frac{1}{4}S
四角形ABCDの面積はわかりません。よって、面積四等分線は、四角形ABCDの重心を通る性質を利用する必要がある。
(5) 回転体の体積を求める。

3. 最終的な答え

(1) 15315\sqrt{3}
(2) 154\frac{15}{4}
(3) 33
(4)
(5)

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