袋の中に赤球が5個、白球が2個、青球が3個入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した2個の球が同じ色である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が5個、白球が2個、青球が3個入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した2個の球が同じ色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている球の総数を求める。

$5 + 2 + 3 = 10$ 個

次に、2個の球を取り出すすべての組み合わせの数を求める。これは10個から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_{10}C_2$ で計算される。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

次に、2個の球が同じ色である組み合わせの数を、色ごとに計算する。

* 赤球2個の場合: $_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 白球2個の場合: $_{2}C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

* 青球2個の場合: $_{3}C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

同じ色の球を取り出す組み合わせの総数は、これらの合計である。

$10 + 1 + 3 = 14$

したがって、2個の球が同じ色である確率は、同じ色の球を取り出す組み合わせの総数を、すべての組み合わせの数で割ったものとなる。

$P(\text{同じ色}) = \frac{\text{同じ色の球を取り出す組み合わせの数}}{\text{すべての組み合わせの数}} = \frac{14}{45}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{45}$