組み合わせの値を求める問題です。具体的には、(2) $ {}_8 \mathrm{C}_3 $、(4) $ {}_4 \mathrm{C}_1 $、(5) $ {}_6 \mathrm{C}_6 $、(8) $ {}_{16} \mathrm{C}_{15} $ の値を計算します。

1. 問題の内容

組み合わせの値を求める問題です。具体的には、(2) ${}_8 \mathrm{C}_3$、(4) ${}_4 \mathrm{C}_1$、(5) ${}_6 \mathrm{C}_6$、(8) ${}_{16} \mathrm{C}_{15}$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 ${}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を利用します。ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。また、${}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r}$　という性質も利用します。

(2) ${}_8 \mathrm{C}_3$ の計算

${}_8 \mathrm{C}_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(4) ${}_4 \mathrm{C}_1$ の計算

${}_4 \mathrm{C}_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4$

(5) ${}_6 \mathrm{C}_6$ の計算

${}_6 \mathrm{C}_6 = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6!0!} = \frac{6!}{6! \times 1} = 1$　($0!=1$であることに注意)

(8) ${}_{16} \mathrm{C}_{15}$ の計算

${}_{16} \mathrm{C}_{15} = {}_{16} \mathrm{C}_{16-15} = {}_{16} \mathrm{C}_{1} = \frac{16!}{1!(16-1)!} = \frac{16!}{1!15!} = \frac{16}{1} = 16$

3. 最終的な答え

(2) 56

(4) 4

(5) 1

(8) 16